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Orthogonalität

Geometrie 1 > Kreise auf der Kugel

Orthogonalität von Kreisen auf der Kugel

Die Animation zeigt den geometrischen Zusammenhang orthogonaler Kreise auf einer Kugelfläche.
Der magentafarbene Kreis
K1 und der grüne Kreis K2 schneiden sich (euklidisch) senkrecht in
den mit einem Quadrat markierten Punkten, die durch die blaugrüne Gerade
j verbunden werden. Zu
jedem Kugelflächen-Kreis K gehört ein Tangentialkegel, der die Kugel in dem Kreis berührt. Die
Spitze des Tangentialkegels wird als 'Pol' von K und auch von der Ebene E bezeichnet, in welcher K
liegt. K bzw. E wir zu P 'polar' genannt. Jede Verbindungsgerade des Pols mit einem Punkt von K
berührt die Kugel und schneidet K senkrecht. Jeder Punkt P außerhalb der Kugel ist Pol eines Kreises
auf der Kugelfläche. Ein Kreis K auf der Kugelfläche ist genau dann orthogonal zu , wenn P
und K gemeinsam in einer Ebene liegen

Der grüne Pol
P2 des Kreises K2 liegt in der Animation auf der magentafarben gezeichneten Geraden
g, welche die Kugelfläche in zwei Punkten schneidet. Durch den magentaroten Pol P1 von K1 verläuft
die grüne Gerade
h, welche die Kugel nicht trifft. h liegt in der Ebene durch K2 und schneidet
die Gerade
j. Wenn die Ebene durch K2 um h gedreht wird, bewegt sich P2 auf g. In den beiden
Grenzfällen, in denen diese Ebene die Kugel nur berührt, ist der Kreis zum Berührpunkt einer
Tangentialebene durch
h geschrumpft und P2 fällt mit diesem Berührpunkt zusammen.
Wenn entsprechend die Ebene durch
K1 um g gedreht wird, bewegt sich P1 auf h. Bei beiden
Prozessen bleibt die Orthogonalität erhalten.
g und h sind 'polar' zueinander. Die Ebenen durch K1
und
K2 sind nur dann (euklidisch) orthogonal, wenn beide Ebenen das Kugel-Zentrum enthalten.

Die Kreise oben links in der Animation entstehen durch stereographische Projektion mit dem
Südpol der Kugel als Zentrum und der Tangentialebene im Nordpol als Bildebene. Einem Punkt Q
der Kugelfläche wird der Schnittpunkt Q' der Tangentialebene mit der Geraden durch Q und den
Südpol zugeordnet. Dabei werden Kugel-Kreise auf Kreise in der Tangentialebene abgebildet und
die Orthogonalität bleibt erhalten.


Den orthogonalen Kreisen K1 und K2 der vorherigen Animation ist hier der blaue Kreis K3
hinzugefügt, der
K1 und K2 beide senkrecht schneidet, so dass ein 'Polardreiseit' entsteht.
Der Pol
P3 von K3 ist der Schnittpunkt der grünen Geraden h und j. Jeder der drei Pole P1,
P2 und P3 liegt auf zwei der Ebenen durch die Kreise K1, K2 und K3.

Die zugeordneten Graphik oben links zeigt, dass die Bildkreise
K1', K2' und K3' bei der
stereographischen Projektion ebenfalls paarweise orthogonal sind.

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