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Spiegelungen 1

Geometrie 1 > Kreise auf der Kugel

Spiegelungen auf der Kugel

Der gelb umrandete schwarze Punkt P bewegt sich auf der z-Achse des kartesischen Koordinaten-
Systems, in dessen Ursprung der Mittelpunkt der Kugel mit dem Radius 1 liegt. Falls der Punkt P
nicht auf der Kugelfläche liegt, bestimmt er eine eineindeutige Abbildung der Punktmenge der
Kugelfläche, die einem Punkt Q den zweiten Schnittpunkt der Fläche mit der Verbindungsgeraden
von P mit Q zuordnet. Wir bezeichnen als Spiegelung an P.

Wenn P innerhalb der Kugel liegt, hat keine Fixpunkte. Für ein P außerhalb der Kugel bleiben
genau die Punkte fest, die auf der zu P polaren Ebene liegen. Es sind dies die Berührpunkte der
Tangenten von P an die Kugel. Sie liegen auf dem Kugel-Kreis , der in der Animation schwarz
markiert ist. Er ist orthogonal zu jedem Kugel-Kreis, der einen Punkt Q mit seinem Spiegelbild
verbindet. Wir bezeichnen für ein P außerhalb der Kugel auch als Spiegelung an .

Man kann in folgender Weise zu einer Spiegelung des ganzen dreidimensionalen Raums fortsetzen:
Sei Q ein beliebiger Punkt des Raums. Dann gibt es drei Ebenen, die nur den Punkt Q gemeinsam haben
und die Kugel in drei Kreisen schneiden. Die Spiegelbilder bei von diesen Kreisen liegen in Ebenen,
die ebenfalls nur einen gemeinsamen Punkt haben. Dieser Punkt Q' ist unabhängig von der Wahl der
Ebenen durch Q. Er sei das Spiegelbild von Q. Mit dieser Definition wird eine Abbildung, die
kollineare Punkte A, B und C in kollineare Punkte A', B' und C' abbildet und komplanare Punkte
A, B, C und D in komplanare Punkte A', B', C' und D'.



In dieser Animation wird der magentafarbene Kreis K0 an dem blauen Kreis K1 in den roten
Kreis
K2 gespiegelt. Der Beträge der euklidischen Winkelgrößen zwischen K0 und K1 sowie
K1 und K2 stimmen überein. Die magentafarbene Gerade g verbindet die gemeinsamen Punkte
von
K0, K1 und K2. Auf der zu g polaren Geraden h liegen die Pole dieser drei Kreise. h und
der grüne Kreis
K3 liegen gemeinsam in einer Ebene. K3 ist orthogonal zu allen Kreisen der
Kugelfläche durch die beiden Schnittpunkte von
g mit der Kugelfläche. Die Spiegelung an K1
bildet die Punktmenge von
K3 auf sich ab. Darum geht eine Gerade durch den Pol von K1,
die einen Schnittpunkt von
K0 und K3 trifft, auch durch einen Schnittpunkt von K1 und K3.
Zeitweise ist in der Animation auch eine hellblauer Kreis
K4 zu sehen, der orthogonal zu K1 ist.
Die Spiegelung an
K4 bildet ebenfalls K0 in K2 ab.



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Die schwarzen Kreise berühren die Kreise K0 und K2 in den Schnittpunkten dieser Kreise mit
dem grünen Kreis
K3. Die gemeinsamen Tangenten gehen darum durch den Pol P3 von K3. Die
Spiegelungen an den zueinander orthogonalen blauen Kreisen
K1 und K4 bilden K0 in K2 ab und
K3 auf K3. (K4 ist nicht in jedem Bild sichtbar.) Darum werden bei diesen Spiegelungen die
Punktmengen von jeweils zwei der schwarzen Berührkreise festgelassen oder vertauscht. Die
hellgrünen und die hellblauen Kreise berühren die schwarzen Kreise in ihren Schnittpunkten mit
K1
bzw.
K4 und sind hierzu orthogonal. Ihre Ebenen schneiden sich in der grünen Geraden, die auch in
der Ebene von
K2 liegt.

Aufeinanderfolgende Bilder geben eine Ansicht der gleichen Kreise aus unterschiedlichen Blickwinkeln.

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