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Heptagramma

Geometrie 1 > Großkreis-Kachelungen

Heptagramma mirificum

Das Heptagramma mirificum, das seltsame Heptagramm, ist ein überschlagendes Großkreisbogen-Siebeneck
bei dem die aufeinander folgenden Seitenbögen rechtwinklich zusammentreffen. Wie das Pentagramma mirificum
gibt es auch hier eine Vierzahl von unregelmäßigen Modifikationen. Sie lassen sich mit einer Variation der Napier-
Konstruktion des Pentagramms aus einem Großkreisbogen-Viereck konstruieren. Für die Abbildung , die
von einem Viereck zum nächsten führt, ist dabei die identische Abbildung, so dass sich die Vierecke zu einem
Kranz an den Spitzen des Heptagramms zusammenschließen.


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Die Animation zeigt die erweiterte Napier-Konstruktion für ein Ausgangs-Viereck, das zu einem
regelmäßigen Heptagramm führt. Drei Eckpunkte sind dabei aufeinander folgende Punkte des
regelmäßigen Siebenecks mit
. Der vierte Punkt
entssteht aus dem mittleren der drei Punkte durch Streckung aus dem Ursprung mit dem Faktor
.

Die Eckpunkte des Ausgangs-Vierecks der Napier-Konstruktion seien mit A, B , C und D gegen den
Uhrzeigersinn durchbuchstabiert, endend mit D beim rechten Winkel. Dann wird die Napier-Konstruktion
zunächst auf das Dreieck DAB angewandt. Die Seite AB wird also über B hinaus zu B ' verlängert, so dass
BB ' vom Pol der Seite AB aus unter dem Winkel 90° erscheint. Der Pol bildet dann also zusammen mit B
und B ' ein Polardreieck mit lauter rechten Winkeln und im Kugel-Modell lauter Seiten der Länge .
Entsprechend wird die Seite DA über A hinaus zu D ' verlängert.. Zur Konstruktion des vierten Eckpunktes
C ' des neuen Viereck ist eine Modifikation des Napier-Verfahrens nötig. Dazu wir das Polardreieck
um B gegen den Uhrzeigersinn so weit gedreht, bis eine Seite davon auf die Seite BC trifft. Der gegenüber
liegende Eckpunkt ist dann C '. Dies ist also der Pol des Großkreises durch B und C.

Die Gleitschau im Anschluss an die Animation zeigt standbilder daraus.

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Die Animation mit einem unregelmäßigen Heptagramma mirificum soll den Zusammenhang zwischen den
Winkeln und Seiten eines Vierecks und seines Bildes bei der erweiterten Napier-Konstruktion
zeigen. Dazu seien die Winkelgrößen zu einem 7-Tupel vereinigt in folgender Reihenfolge:
Länge r der roten Seite
Innen-Winkel s beim Eckpunkt zwischen roter und grüner Seite
Länge t der grünen Seite
Innen-Winkel u beim Eckpunkt zwischen grüner und blauer Seite
Länge v der blauen Seite
Innen-Winkel w beim Eckpunkt zwischen blauer und violetter Seite
Länge x der violetten Seite.
Die Daten des Ausgangs-Vierecks sind dann näherungsweise (63° ; 32° ; 43° ; 217° ; 34° ; 44° ; 49°)

Dann kommt man vom Tupel zu zu dem von durch die Abbildung


Es seien a, b, c und d die Seiten-Groß
kreise zu CA, DA, AB und BC. Mit der Pol-Polaren-Abbildung *
und der Antipoden-Abbildung kann folgendermaßen beschrieben werden: .
Man errechnet daraus, dass die identische Abbildung ist.


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Die Animation zeigt Heptagramma, die symmetrisch zur Rechts-Achse sind.


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Hier werden zu den Heptagramma der vorherigen Animation die Seiten-Großkreise der zugehörigen
Darstellung im Kugel-Modell gezeigt.



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