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Spiegelungen 1

Geometrie 1 > Ellipsen auf dem Zylinder

Laguerre-Spiegelungen

-->'Geraden und Gewinde im dreidimensionalen projektiv-metrischen Raum I'

http://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Geraden_und_Gewinde_I.pdf


Ein ins Unendliche reichender Zylinder ermöglicht es, zu jedem Punkt A außerhalb der Zylinder-Fläche eine
Spiegelung zu definieren, die drei kollineare Punkte stets in drei kollineare Punkte abbildet, A festlässt und
jeden Zylinder-Punkt in einen Zylinder-Punkt abbildet. Durch diese Eigenschaften ist eindeutig bestimmt.
Das Bild Q eines Zylinderpunkts P ist der zweite Zylinderpunkt auf der Geraden AP, vorausgesetzt dass AP
nicht Tangente des Zylinders ist, sonst ist Q = P. Durch diese Bilder für Zylinderpunkte und die Kollinearitäts-
Eigenschaft sind auch die Bilder aller anderen Raum-Punkte festgelegt. Dass wird auf dieser Seite dargestellt.
ist involutorisch, das heißt: Wenn Q das Bild von P ist, dann ist P das Bild von Q. Wenn man den Zylinder
durch eine Kugel ersetzt, können Spiegelungen entsprechend definiert werden. Wir nennen die Spiegelungen
beim Zylinder 'Laguerre-Spiegelungen', weil sie eng mit involutorischen Abbildungen in der Geometrie der
Zykeln und Speere zusammenhängen, die Edmond Laguerre (1834-1886) entwickelt hat.

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In dieser Animation ist der magentafarbene Punkt
A das Spiegelungs-Zentrum. Es soll dargestellt
werden, wie sich für den mit zwei Kreisen markierte hellgrüne Punkt
P der analog markierte orangene
Punkt
Q als Spiegelungsbild von P aus Spiegelbildern von Punkten auf der Zylinderfläche ergibt. Dazu
wird ein ebenfalls hellgrüner Hilfspunkt
R auf dem hellgrünen Kreis K in der Zylinderfläche benutzt.
Sein Bild bei Spiegelung an
A ist der orangefarbene Punkt S auf dem Zylinder. R wird durch die
Spiegelung mit dem Zentrum
P in den dunkelgrünen Punkt T auf dem Zylinder abgebildet, der dann an
A in den braunen Punkt U gespiegelt wird. Der gesuchte Bildpunkt Q bei Spiegelung von P an A ist
dann der Schnittpunkt der Geraden
SU und AP. Diese beiden Geraden treffen sich im Raum, weil alle
konstruerten Punkte in der von
A, P und R aufgespannten Ebene liegen.

Es ist nicht selbstverständlich, dass man nicht zu einem anderen Spiegelungspunkt
Q gelangt, wenn man
einen anderen Hilfpunkt
R auf dem Zylinder wählt. Dass dies der Fall ist, soll in der Animation dadurch
verdeutlicht werden, dass
R sich auf dem Kreis K bewegt, ohne dass sich Q verrückt. Dabei wird durch
die Projektion in die xy-Ebene klar, dass dahinter ein geometrischer Satz beim Kreis in der Ebene steckt.
Auch wenn sich
R auf einer Parallelen zur z-Achse bewegt, ändert sich die Lage von Q nicht. Dies folgt
aus dem Strahlensatz.

Bei der Bewegung von
R auf dem Kreis K werden die Spuren der Punkte S, T und U aufgezeichnet. Es
sind Ellipsen. Die Spur zu
S ist das Bild von K bei der Spiegelung an A, die Spur von T das Bild von
K bei der Spiegelung an P, und die Spur von U ergibt sich aus K durch die Hintereinanderschaltung
der Spiegelungen an
P und A.

Um die Spiegelung an A im Rahmen der analytischen Geometrie zu beschreiben, geht man von der
Gleichnung aus, die genau für die Punkte (x;y;z) gilt, die auf der Zylinder-Fläche
liegen. Die Formel für die Spiegelung an A wird einfacher, wenn man sie im Rahmen der projektiven
Geometrie beschreibt. Dann ersetzt man das Punkt-Tripel (x;y;z) durch ein Quadrupel (x;y;z;1)
oder ein Quadrupel mit einer reellen Zahl s ungleich Null. Die Gleichung des
Zylinders kann dann in der äquivalenten Form geschrieben werden.
Wenn man den Punkt P also mit dem Quadrupel bezeichnet, liegt P bei dieser
Schreibweise genau dann auf der Zylinder-Fläche, wenn ist. Die zu der
Quadratform gehörige symmetrische Bilinearform f bildet ein Paar (p;a) von
Quadrupeln auf die reelle Zahl ab. Mit dieser Bilinearform f hat die Spiegelung
am Punkt A mit dem Quadrupel die folgende algebraische Form:
(*) .
Der Spiegelungs-Term ist nur dann definiert, wenn ungleich Null ist, also
wenn A nicht auf der Zylinder-Fläche liegt. Der Term ist linear in p. Das bedeutet: Für Quadrupel
p und q und reelle Zahlen s und t gilt wegen

.
Daraus folgt, dass bei dieser Abbildungsvorschrift wirklich drei kollineare Punkte in drei kollineare
Punkte abgebildet werden. Dass A dabei fest bleibt, folgt aus .
Aus

folgt für einen Punkt P auf der Zylinder-Fläche , so dass auch sein
Spiegelbild auf der Zylinder-Fläche liegt.

Bei der Benutzung dieser Spiegelungs-Formel kann man die vierte Komponente von p und a für
endliche Punkte auf 1 setzen, muss aber bedenken, dass dann die vierte Komponente von
nicht 1 ist, sondern ist. Erst die Teilung des Quadrupels durch
diese Zahl führt auch beim Bild-Quadrupel zur vierten Komponente 1.

Eine übersichtliche Matrix-Darstellung für erhält man mit Hilfe der Matrix .
Sie kennzeichnet die metrischen Eigenschaften der Laguerre-Geometrie, denn es gilt ,
wobei p für die Matrix aus einer Zeile steht, für die dazu transponierte Matrix aus einer Spalte und
der tiefgestellte Punkt wie in dem Softwarepaket Mathematica die Matrix-Multiplikation bezeichnet.
Dann ist , wobei die quadratische Matrix mit vier Einsen in der
Haupdiagonalen und sonst nur Nullen bezeichnet.

Die Spiegelung an A bildet vier Punkte, die in einer Ebene E liegen, in vier Punkte einer Ebene E*
ab, die als Bild-Ebene von E angesehen wird. sei das Quadrupel,. das die
Koordinaten-Darstellung von E beschreibt, weil E die Menge der Punkte P ist, für die
gilt. Die Koordinaten-Darstellung von E* ist dann
.

Leider kann man man nicht nicht mit Hilfe einer Formel wie die Formel (*) für darstellen.
Das liegt daran, dass die Matrix F nicht invertierbar ist. Anders ist es, wenn man den Zylinder durch
eine Einheits-Kugel ersetzt. Dann muss nämlich in der Maß-Matrix F die Null in der Hauptdiagonalen
durch Eins ersetzt werden, so dass die Matrix invertierbar wird. Sie ist dann sogar involutorisch, so
dass die gleiche Formel für Punkte und Ebenen anwendbar ist.

In der euklidischen Geometrie benutzt man eine Maß-Matrix F' mit drei Einsen in der Hauptdiagonalen
und einer Null an vierter Stelle, anstatt einer Null an dritter Stelle wie in der Laguerre-Geometrie. Denn
Ebenen D und E sind genau dann orthogonal, wenn die symmetrische Bilinearform

für die Ebenen-Quadrupeln d und e Null wird. Bemerkenswert ist dabei, dass dann die Formel (*)
mit f ' statt f für Ebenen gilt, aber nicht für Punkte, also umgekehrt wie in der Laguerre-Geometrie. Aus
diesem Grund ist es sinnvoll, in der Laguerre-Geometrie nicht die Ebenen D und E mit f(d;e) = 0 als
'orthogonal' zu bezeichnen, sondern die Punkte P und Q, für die f(p;q) = 0 gilt. Denn diese Gleichung
ist äquivalent mit , und die Vertauschbarkeit der Spiegelungen an zwei geometrischen
Objekten wird als charakteristisch für die Orthogonalität angesehen.


In dem im Kopf dieser Seite genannten Text wird eine gemeinsame Darstellung von Geometrien
zu einer Maß-Matrix gegeben, wobei j und k möglichst nicht spezialisiert wurden.
Darum wird dort die Formel (*) auch im Fall j = 0 und k = -1 für Ebenen-Quadrupel benutzt. In
dieser Geometrie sind dann also die Rollen von Punkte und Ebenen vertauscht. Dadurch ergibt sich
in algebraischer Hinsicht kein wesentlicher Unterschied, für die geometrische Vorstellung aber schon.



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