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Evolute-Evolvente

Geometrie 2 > Drehpunktfunktion

Drehpunktfunktion, Evolute und Evolvente
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, also
f ist die Drehpunktfunktion für die blaue Kurve und f ' die für die orangefarbene. Der zur Kurve gehörige
Pfeil dreht sich beim Zeichnen um einen Punkt auf der Geraden durch den Pfeil. Der Funktionswert gibt
den signierten Abstand des Drehpunktes von der Pfeilmitte an. (Der signierte Abstand ist von der Pfeilmitte
aus gesehen in Pfeilrichtung positiv und in der entgegengesetzten Richtung negativ.) Falls die Drehpunkt=
funktion in einem Intervall [a,b] monoton ist, gibt der Betrag der Differenz der Funktionswerte zu a und b
die Länge des Kurvenstücks zwischen den zu a und b gehörigen Punkten an. Der Drehpunkt auf dem
orangefarbenen Pfeil, der zur Ableitung f ' gehört, ist der Mittelpunkt des Schmiegkreises der blauen Kurve
zum Drehpunkt auf dem blauen Pfeil. Die orangefarbene Kurve ist also die Evolute der blauen Kurve, d. h.
die blaue Kurve ist Evolvente der orangefarbenen. Die blaue Kurve wird beschrieben durch
oder in komplexer Schreibweise durch .
Hierbei wurde die Mitte des Startpfeils als Koordinatenursprung gewählt. Analog ist die orangefarbene Kurve
durch gegeben.
Die blaue Kurve ist für die oben angegebene Funktion eine Ellipse, die aus einem Kreis durch Streckung in
y-Richtung mit dem Faktor 0,5 entsteht. Ihre orangefarbene Evolute ergibt sich aus aus einer Astroide durch
Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 0,5. Für eine Ellipse, die aus dem Einheitskreis durch Streckung mit
dem Faktor k in y-Richtung entsteht, ist die Ableitung der Drehpunktfunktion gleich




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Hier wird zusätzlich zur dunkelblauen Kurve und ihrer Evolute die hellblaue Spur der Mitte des blauen
Pfeils gezeichnet. Die hellblaue Kurve wird beschrieben durch die Kurvenfunktion
. c ist hierbei der Kurvenpunkt zu
a = 0.



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f(a) = 0,1a
Wenn die Drehpunktfunktion f wie hier eine lineare Funktion ist, ergibt sich als zugehörige Kurve ein Kreis.
Die hellblaue Kurve ist eine Kreisevolvente.



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, also
Die blaue Kurve hat hier je drei Krümmungsmaxima und Krümmungsminima und sechs Symmetrieachsen.
Ohne Integralzeichen kann man f folgendermaßen beschreiben:




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, also

Ohne Integralzeichen kann man f folgendermaßen beschreiben:

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