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Gegenbeispiele1

Geometrie 2 > Gleichdick


s-Kurven, die kein Gleichdick liefern, und ihre Korrektur 1

Auf der Seite Begründung wird gezeigt, dass eine Drehpunktfunktion f mit der Periode 360° und dem Mittelwert
Null nur dann ein Gleichdick liefert, wenn gilt für alle . Außerdem muss die Drehpunktkurve
1-geschlossen sein, das heißt, dass ist. Im Fall ist dies äquivalent mit
und damit auch äquivalent mit der Konjuktion .
Um durch Korrektur von f die Gültigkeit dieser Konjunktion zu erreichen, kann man folgenden Satz benutzen:
Satz : Sei f periodische Drehpunktfunktion mit der Periode 360° ,
und . Dann ist 1-geschlossen.
Zum Beweis errechnet man und
und löst nach u und v auf.

Wenn man eine Funktion f, die im Intervall [ 0° ; 180° [ definiert ist und dort beschränkte Variation hat,
in dieser Weise zu g korrigiert, dann g durch für alle fortsetzt und die
Fortsetzung periodisch auf ganz erweitert, dann ist die s-Kurve zu g ein Gleichdick, falls s eine obere
Schranke von g ist. Wir nennen die Fortsetzung 'antiperiodisch'. Dies soll auf dieser Seite an Beispielen
gezeigt werden.



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Bei der Drehpunktsfunktion f(a) = sin(a) ist die Bedingung f(a +p) = - f(a) erfüllt,
nicht aber die Bedingung .


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Bei der Drehpunktfunktion ist der Term sin(a) so korrigiert worden,
dass auch die Integralbedingungen fürs Gleichdick erfüllt sind.



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Bei der Drehpunktsfunktion f(a) = sin(2a) ist schon die Bedingung f(a +p) = - f(a) verletzt.
Die blaue Drehpunktkurve ist eine Astroide.



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Hier ist die Drehpunktsfunktion f(a) = sin(2a) antiperiodisch ergänzt worden, d. h. so,
dass
f(a +p) = - f(a) ist für alle a zwischen 0 und p.



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Hier erfüllt die Drehpunktsfunktion die Integralbedingung
fürs Gleichdick. Sie ist hier antiperiodisch ergänzt worden.

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