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Spiegelungen 2

Geometrie 1 > Ellipsen auf dem Zylinder

Laguerre-Spiegelungen 2

Auf dieser Seite soll der geometrische Zusammenhang zwischen einer Zylinder-Ellipse
D, einem
Spiegelungspunkt
A und dem Spiegelungsbild E von D dargestellt werden, auch hinsichtlich der
Bedeutung für die Bilder von
D und E bei der Blaschke-Abbildung.



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Zu der dunkelblauen Ellipse D und der hellblauen Ellipse E auf dem Zylinder wurde der magenta-
farbene Punkt
A gefunden, für den die zugehörige Laguerre-Spiegelung D und E vertauscht.
bzw. sei Quadrupel der Ebene, in der
D bzw. E liegt. Die
dritte Komponente kann hier auf 1 gesetzt werden, weil die Ebenen nicht parallel zur z-Achse
verlaufen. Die Matrix der Spiegelung an einem Punkt
A mit dem Quadrupel ist

für Punkte-Quadrupel und die dazu transponierte Matrix für
Ebenen-Quadrupel. Dabei ist f die symmetrischen Bilinearform
und F die Maß-Matrix mit den Zahlen 1, 1, 0 -1 in der Hauptdiagonalen und sonst Nullen. Bei
Anwendung von auf d muss man bedenken, dass das Ergebnis nicht unbedingt e sein muss,
sondern auch ein dazu proportionales Quadrupel mit einer reellen Zahl
r ungleich Null sein kann. Die Gleichung hat dann die eindeutige Lösung r = -1 und
. Wenn man dem Quadrupel d mit 1 als dritter
Komponente das Quadrupel zuordnet, ist a proportional zu .
Fasst man d* und e* als Punkte-Quadrupel zu Punkten
D* und E* auf, teilt A die Strecke D*E*
im Verhältnis . (In zwei Standbildern im Anschluss an die Animation ist die Strecke
D*E*
braun eingezeichnet.)

In der Animation wird der grüne Punkt
P auf der dunkelblauen Zylinder-Ellipse D herum geführt und
dazu der orangefarbene Punkt
Q auf der hellblauen Ellipse E. P und Q sind durch eine magentafarbene
Strecke mit dem gleichfarbigen Spiegelungszentrum
A verbunden. Die zu P und Q gehörigen Pfeile der
Blaschke-Abbildung sind grün bzw. orange gezeichnet. Sie verlaufen parallel zur xy-Ebene und haben
die Länge 1. Einer der beiden gleichfarbigen Pfeile hat die Spitze bei
P bzw. Q, der andere liegt in der
xy-Ebene auf einem Speer, der den Bildzykel B(
D) bzw. B(E) von D bzw. E bei der Blaschke-Abbildung
berührt. Die beiden Speere schneiden sich auf der magentafarbenen Potenz-Geraden
g der Kreise zu
B(
D) ud B(E). Darum schneidet der magentafarbene Kreis um den Schnittpunkt der Speere beide Kreise
orthogonal in ihren Berührpunkten.

Neben der magentafarbenen Potenz-Gerade
g hat auch die Gerade h durch den Ursprung und A die
gleiche Farbe. Denn
g und h sind zueinander nullpolar. Das bedeutet geometrisch, dass zu jeder Ebene
durch
h eine Zylinder-Ellipse gehört, deren Blaschke-Bild ein Null-Zykel auf g ist, das heißt ein zu einem
Punkt auf
g geschrumpfter Kreis vom Radius Null. Algebraisch bedeutet dies, dass die Gerade g in der
Darstellung mit Plücker-Koordinaten das Tripelpaar hat, weil das Tripel-Paar von
h ist. Darum ist g parallel zu dem Bild von h bei senkrechter Projektion auf die
xy-Ebene.Dies machen die beiden magentafarbenen Pfeile deutlich, von denen der eine seine Spitze in
einem gemeinsamen Punkt R von
h und dem Zylinder hat und der andere auf g liegt. Der Punkt R liegt
auf der Ellipse jeder Ebene durch
h. Darum ist das Blaschke-Bild von R ein Speer an jeden Nullzykel auf
g, muss also ganz auf g liegen. Am Ende einer Periode der Animation sind in einem Standbild sind zwei
grau gefüllte Pfeile vom Ursprung aus eingezeichnet, welche diesen Zusammenhang verdeutlichen. Sie sind
gleich lang und treffen beide senkrecht auf den Anfangspunkt des zugehörigen magentafarbenen Pfeils.

In einem weiteren Standbild der Animation sind zwei Winkel dreifach schwarz markiert, welche die gleiche
Größe haben. Ihre Scheitelpunkte sind der Punkt S auf der z-Achse und der Schnittpunkt T der
Geraden durch die Mitten der beiden blauen Zykel und der Geraden durch die zugehörigen Kegelspitzen.
Die Gerade durch die beiden Kegelspitzen ist nullpolar zu der Schnittgeraden der Ebenen, in der die
Ellipsen
D und E liegen. Der markierte Winkel ist hier der Steigungswinkel dieser Geraden gegenüber der
xy-Ebene. Der andere markierte Winkel ist der zwischen der z-Achse und der Geraden durch S und dem
Anfangspunkt des magentafarbenen Pfeils auf
g. Die beiden Winkel liegen in parallelen Ebenen.



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