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Kreise auf der Pseudospäre

Geometrie 1 > hyperbolische Geometrie

Geodätische Kreise auf der Pseudospäre

--> http://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Hyperbolische_Geometrie.pdf

Die Animation zeigt ein Geodäten-Dreiseit mit Mittelsenkrechten, die sich in einem Punkt M schneiden.
M ist das Zentrum eines geodätischen Kreises durch die Eckpunkte
R, G und B des Dreiseits. Der
Mittelpunkt von z. B. R und G hat die gleiche Entfernung von
R und G, vorausgesetzt man misst diese
Entfernung als Weglänge auf der Geodäte. Der Winkel zwischen dieser Geodäte und der zugehörigen
Mittelsenkrechten hat 90° als Wert des üblichen euklidischen Winkel-Maßes. Die Längen und Winkel
in den zugehörigen Figuren im Poincare-Modell oben rechts und im Beltrami-Klein-Modell oben links
haben zum Teil andere Maß-Vorschriften. Nur die Werte der Winkel im Poincare-Modell stimmen mit
denen im Geodäten-Dreiseit der Pseudosphäre überein. Die übrigen Größen können in diesen beiden
Modellen mit Hilfe von Doppelverhältnissen berechnet werden, so dass sich ähnliche Beziehungen wie in
der euklidischen Geometrie ergeben. Die Punkte des geodätischen Umkreises haben alle die gleiche
Entfernung von M, wenn man diese Entfernung auf einer Verbindungs-Geodäte mit M misst. Dieser
Umkreis hat als Bild im Poincare-Modell einen euklidischen Kreis und im Beltrami-Klein-Modell eine
euklidische Ellipse, die im Rahmen diese Modells als 'hyperbolischer Kreis' bezeichnet wird.

Die Drehung des Dreiseits um M verdeutlicht, dass es in der Geometrie der Pseudosphäre auch Kongruenz-
Abbildungen (Bewegungen) gibt, bei denen also Entfernungen und Winkelgrößen beim Bild und beim Urbild
übereinstimmen, sofern man die Messungen auf Geodäten vornimmt.

In dieser Animation liegen die Punkte R, G und B in der Anfangsstellung am selben Ort der Pseudosphäre
wie in der vorangehenden Animation. Der Punkt
R ist aber der Schicht mit der Nummer 1 der zugehörigen
riemannschen Fläche zugeordnet, während
G und B anfangs in der Schicht Nummer 0 liegen. Bei der Drehung
um den Umkreismittelpunkt ändern sich die Schichtnummern, wie man z. B. im Beltrami-Klein-Modell erkennt.
Bemerkenswert ist bei diesem Beispiel, dass der geodätische Umkreis sich selbst schneidet.

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