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Schwerpunkts-Koordinaten

Geometrie 1 > Dreiecks-Sätze

In diesen Abbildungen sind die Zahlen r, s und t proportional zu den Höhen der Quader.
Wenn
s und t an den Klammerspitzen über der Verbindungsstrecke des grünen und des blauen
Eckpunktes stehen, soll damit nicht die absolute Länge der Streckenabschnitte angegeben
werden, sondern, dass das
Verhältnis dieser Längen ist.
Die Abbildungen zeigen die physikalische Begründung der Schwerpunktskoordinaten.
An den Eckpunkten einer gewichtslosen dreieckigen Platte mit den Eckpunkten
A, B und C
sind Gewichtsstücke befestigt, deren Maßzahlen
r, s und t sind. Unterstützt wird die Platte nur
durch die Spitze P der Pyramide, und zwar so, dass die Platte im Gleichgewicht bleibt. P ist
der physikalische Schwerpunkt. Die Maßzahlen
r, s und t werden hier so verändert, dass sich
P auf dem Inkreis des Dreiecks
ABC bewegt. Die Verbindungsgeraden eines Eckpunktes mit P
heißt 'Eck-Transversale'. Sie schneidet die dem Eckpunkt gegenüberliegende Seite in einem
'Ceva-Punkt'. Der Ceva-Punkt zum Eckpunkt
A ist z. B. . Er ist hier hellblau markiert, weil
Hellblau die Mischfarbe von Grün und Blau bei der additiven Farbmischung ist. Wenn P im
Punkt liegt, muss r = 0 sein und nach dem Hebelgesetz teilt dann die Strecke BC im
Verhältnis . Darum ist das Verhältnis der Inhalte der Dreiecksflächen
und ebenfalls gleich . Wenn P nicht auf den Punkt fällt, ist , aber
an den Verhältnissen ändert sich nichts, auch wenn
die Summe von
r, s und t gleich 1 ist, wie in dieser Abbildung. Das Verhältnis der Inhalte der
Dreiecksflächen APC und ABP ist auch , da gilt. Darum wurde
in der Abbildung die Fläche APC grün markiert und die Fläche ABP blau. Entsprechendes gilt
auch für die Seite CA mit dem Verhältnis und die Seite AB mit dem
Verhältnis . Das Tripel (
r , s , t) bestimmt die Lage des Punktes P eindeutig,
auch wenn
r + s + t nicht 1 ist. Wenn r + s + t = 1 vorausgesetzt ist, bestimmt P umgekehrt die
Komponenten von (
r , s , t) eindeutig. Man nennt das Tripel dann 'normiert'. Es ist aber sinnvoll,
auch nicht normierte Tripel zuzulassen, da dann zum Teil komplizierte Nenner vermieden werden.

In diese Animation bewegt sich die Spitze P der Pyramide auf dem Umkreis des
Dreiecks
ABC. Wenn dabei P stets der physikalische Schwerpunkt sein soll, muss man
sich eine gewichtslose Platte vorstellen, die den Umkreis umfasst und bei der in den
Dreieckseckpunkten Kräfte angreifen, zum Teil mit Gewichtsstücken nach unten, zum
Teil mit Gasballons nach oben. Die Maßzahl der nach oben gerichteten Kraft wird hier mit
einem Minus-Zeichen versehen. Dann übertragen sich die Aussagen über Teilverhältnisse
aus der vorangehenden Animation. Wenn in dem Schwerpunktskoordinaten_Tripel (
r ; s ; t)
z.B.
s positiv und t negativ ist, dann liegt B auf der Seitengerade BC zwischen und C und
es gilt . Man kann einen signierten
Flächeninhalt für die orientierte Dreiecksfläche ABP einführen, indem man den positiven
Flächeninhalt mit einem Minus-Zeichen versieht, wenn der Weg A --> B --> P --> A um den
Rand von ABP rechts herum verläuft. Dann gilt sogar .

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