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Begründung

Geometrie 2 > Gleichdick

Darstellung eines Gleichdicks
mit Hilfe einer Drehpunktfunktion


Es sollen auf dieser Seite die mathematischen Grundlagen der Darstellung der Randkurve eines Gleichdicks
als Evolvente einer Drehpunktkurve gelegt werden.

Unter einer ebenen konvexen Menge M verstehen wir eine Punktmenge im , die mit je zwei Punkten auch
alle Punkte der Verbindungsstrecke enthält. Eine 'Stützgerade von M zum Richtungswinkel ' sei eine
orientierte Gerade mit dem Richtungswinkel , die mit dem Rand von M mindestens einen Punkt
gemeinsam hat, bei der aber kein Punkt von M auf der rechten Seite der Geraden liegt. Der Abstand der
parallelen Stützgeraden und wird die 'Breite von M bei ' genannt. Eine konvexe
Menge heißt 'beschränkt', wenn es zu jedem Richtungswinkel eine Stützgerade gibt. Eine beschränkte konvexe
Menge heißt 'Gleichdick', wenn die Breiten für alle Richtungswinkel gleich sind.

Auf den Seiten der Ebene 'Gleichdick' benutzen wir zur Darstellung der Randkurve eines Gleichdicks eine
Evolvente einer Drehpunktkurve zu einer Drehpunktfunktion f. (An anderer Stelle wurden f selbst benutzt.)

Definition : Eine Funktion f von der Menge der reellen Zahlen in sich heißt 1-periodische Drehpunktfunktion,
wenn gilt:
1. für alle ,
2. f hat im Intervall beschränkte Variation, d. h. dass f in diesem Intervall
als Differenz zweier monotoner Funktionen dargestellt werden kann, und
3. .
Wegen
ist die dritte Eigenschaft äquivalent mit .
Eine zu f gehörige Drehpunktkurve ist die Kurve in der komplexen
Ebene oder eine Kurve, die daraus durch Verschiebung entsteht. Wenn f differenzierbar ist, dann ist
. Im Fall von Sprungstellen setzen wir auf dieser Seite voraus, dass dort
der Funktionswert von f der Mittelwert des links- und rechtsseitigen Limes ist. Wenn f für diese Normierung
geändert werden muss, ändert die Drehpunktkurve sich dadurch nicht. Sie ändert sich in der Form auch nicht,
wenn zu den Funktionswerten von f eine Konstante addiert wird.

Die Evolvente dieser Drehpunktkurve zum Parameterwert s ist die Kurve
, die wir 's-Kurve' nennen.
Wenn s obere Schranke von f ist, also alle Funktionswerte von f kleinergleich s sind, dann liegen alle Punkte
des Graphen von auf dem Rand der konvexen Hülle M des Graphen. (M ist die kleinste konvexe Menge,
die den Graphen enthält.) Die Breite von M bei ist .
Siehe dazu http://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Drehpunktfunktion.pdf.

Als Definitionsbereich von f wird auf dieser Seite stets die ganze Menge der reellen Zahlen gewählt, weil
dies die Darstellung des Zusammenhangs im folgenden Satz erleichtert. Bei Anwendungen des Satzes auf den
folgenden Seiten ist der Definitionsbereich meist eingeschränkt definiert, ist dann aber periodisch fortsetzbar.

Satz : f sei eine 1-periodische Drehpunktfunktion. s und c seien reelle Zahlen.
Dann sind für die Evolvente der Drehpunktkurve von f folgende Aussagen äquivalent:
(1) Für alle gilt:
(2) Für alle gilt:: .
Wenn (1) oder (2) gilt, dann ist der Mittelwert von f, also .
Beweis: Es sei zunächst (1) vorausgesetzt. Sei und . Dann ist
. Andererseits ist

Daraus folgt
also auch für alle .
Da f in einem Perioden-Intervall beschränkte Variation hat, gibt es eine Fourier-Reihe
, die gegen konvergiert (siehe dazu
https://projecteuclid.org/euclid.pja/1195521140). ist dabei der Mittelwert von f.
Wenn man im Term für f die Fourier-Reihe einsetzt, treten die
Integrale und auf.
Für ungerade k ergibt sich bei beiden Integralen Null. Für geradzahlige k > 0 ist
und .
Die Einsetzung führt also zur Gleichung

Bei Trennung der Realteile und Imaginärteile folgt
und

Da die Terme auf der rechten Seite für alle Null ergeben, folgt aus der parsevalschen Gleichung,
dass alle Koeffizienten Null sein müssen. Darum gilt für alle j > 0 und .
In der Fourier-Reihe von f gibt es also außer dem konstanten Glied keinen Summanden mit einem
geraden k. Wegen für ungerade k
ist darum .

Sei nun umgekehrt (2) vorausgesetzt.
.
Da die Periode von f ist gilt
.
Folglich ist
q.e.d.

1. Folgerung: Wenn Randkurve eines Gleichdicks M mit der Breite 2c ist, dann folgt
für alle .

Denn in M gibt es keine zwei Punkte, deren Abstand größer als 2c ist. Wenn darum P ein Punkt
von M auf der Stützgeraden ist und Q ein Punkt von M auf , dann ist der Abstand
dieser beiden Punkte gleich 2c und die Verbindungsstrecke steht senkrecht auf den Stützgeraden.
Darum hat der Verbindungsvektor den Richtungswinkel und .

Bei der Untersuchung von Gleichdicken mit Hilfe einer Drehpunktfunktion f ist es sinnvoll, sich auf
Funktionen mit dem Mittelwert Null zu beschränken. Denn bei einer Verschiebung des Graphen von f
in Richtung der Hochachse ändert sich die Drehpunktkurve in ihrer Form nicht, und bei einem Mittelwert
Null vereinfacht sich die in der 1. Folgerung genannte Gleichung zu für alle .

2. Folgerung: f sei eine Drehpunktfunktion mit für alle und s eine obere
Schranke von f. Dann ist der Mittelwert von f gleich Null, und die s-Kurve ist Rand eines Gleichdicks
mit der Breite 2s. Für alle ist .

Aus folgt nämlich , so dass der Mittelwert von f gleich Null
ist. Die Eigenschaft (2) ist damit erfüllt, also auch (1). Da s obere Schranke ist, berandet eine
konvexe Menge M, die für alle zwischen den Stützgeraden und liegt, welche
nach (1) den Abstand 2s haben. Darum ist M ein Gleichdick mit der Breite 2s. Außerdem ist
, also
und darum
.


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