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nicht-euklidisch

Geometrie 1 > Satz von Poncelet

Satz von Poncelet (nicht-euklidisch)

--> Bewegungen auf dem Kreis und der Satz von Poncelet (http://vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Poncelet.pdf)


Der gelbe Punkt P und der orangefarbene Punkt Q bewegen sich auf dem Einheitskreis mit einer
Geschwindigkeit v(
a), die nur vom jeweiligen Ort (cos(a) ; sin(a)) abhängt, an dem sich P oder Q
befinden. Hier ist v(
a) proportional zum nicht-euklidischen Abstand
des Punktes (cos(
a) ; sin(a)) vom weißen Punkt . Der Abstand zwischen P und Q wurde
so gewählt, dass die Zeit für den Weg von dem Ort zum Ort zu irgendeinem Zeitpunkt stets
bzw. beträgt, wobei T die Zeit für einen Umlauf ist. Der grau gezeichnete Balken im
Graphen von der Zeit t hat also die Breite bzw. Darum lässt sich die Strecke PQ zu
einem Sehnen-Tangenten-n-m-Eck mit n = 5 bzw. n = 20 und m = 2 bzw. m = 9 ergänzen.
Die eingezeichneten Spurkreise gehören zu Zeitintervallen , mit k = 2, 3, ..., 9.




Hier ist v(
a) proportional zum Abstand von der parallel zur Hochachse gezeichneten schwarzen
Geraden , wobei z die Abszisse des grünen Punktes Z im Innern des roten Kreises ist.
Diese Gerade ist die Polare von Z. Es ist . Der Abstand des orangefarbenen
Punktes P vom gelben Punkt Q ist so gewählt, dass sich PQ zu einem Sehnen-Tangenten-n-Eck
mit n = 3 bzw. 4 bzw. 5 ergänzen lässt. Die rote Hüllkurve der Tangenten ist ellipsenförmig. Sie
ergibt sich als Bild eines Kreises um den Ursprung bei der hyperbolischen Translation, die den
Mittelpunkt des schwarzen Einheitskreises in Z abbildet, wenn man das Beltrami-Klein-Modell der
hyperbolischen Ebene zu Grunde legt. In diesem Modell werden nur die Punkte im Innern des
Einheitskreises als Punkte des Modells betrachtet und nur die Sehnen als Geraden. Man kann hier
einen nicht-euklidischen Abstand definieren, so dass alle Axiome der euklidischen Geometrie gelten mit
Ausnahme des Parallelen-Axioms. Für diesen nicht-euklidischen Abstand ist die Hüllkurve ein
hyperbolischer Kreis, das heißt, dass alle Punkte der Hüllkurve von Z den gleichen hyperbolischen
Abstand haben. Dieser Abstand ist anders definiert als der bei den Ellipsen im Bild oben angegebene.

Für die Winkel zwischen den Tangenten der Hüllkurve wird hier mit Hilfe des Maßpunktes M auf der
Rechtsachse am rechten Rand des Bildes ein nicht-euklidisches Messverfahren bestimmt. M hat die
Abszisse . Wenn , und Punkte auf dem Einheitskreis sind und , sowie
Tangenten der Hüllkurve, dann kann dafür folgendermaßen eine nicht-euklidischer Winkelmessung
angegeben werden: und seien die Schnittpunkte der Geraden durch den Punkt E(-1 ;0) und
bzw. mit g. Dann ist der Wert des nicht-euklidischen Winkelmaßes vom Winkel durch den
euklidischen Winkel gegeben. Diese Winkel haben beim Sehnen-Tangenten-n-Eck das Maß .
Das Sehnen-Tangenten-Viereck ist ein nicht-euklidisches Quadrat.
Der Maßpunkt M zusammen mit der Maßgeraden g kann auch dafür genutzt werden, Sehnen-Tangenten-
n-m-Ecke zu zeichnen, ohne vorher hyperbolische Kreise zu konstruieren. Dazu geht man von irgendeinem
Punkt des Einheitskreises aus, bestimmt den Schnittpunkt der Geraden mit g und zeichnet die
Verbindungsgerade . An diese trägt man den Winkel an. Der Schnittpunkt des zweiten
Schenkels dieses Winkels mit g ist und der Schnittpunkt der Geraden mit dem Einheitskreis
ergibt den nächsten Eckpunkt des Sehnen-Tangenten-n-m-Ecks.

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