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Umfangswinkel-Satz

Geometrie 1 > Kreise auf der Kugel

Der Umfangswinkel-Satz in
der hyperbolischen, der euklidischen und der elliptischen Geometrie

Der Umfangswinkel-Satz der euklidischen Geometrie besagt: Folgendes:

A, B und C seien Eckpunkte eines Dreieck mit dem Umkreis K. Wenn dann A auf K weiterwandert,
bleibt die euklidische Größe des Winkels zwischen den Geraden
AB und AC unverändert.

Dabei misst man diesen Winkel, indem man die Gerade
AB gegen den Uhrzeigersinn in die Gerade AC
dreht und den Drehwinkel bestimmt. Je nachdem auf welchem Bogen über der Strecke
BC sich der
Punkt
A gerade befindet, liegt bei dieser Messmethode das Innere des Dreiecks außerhalb oder innerhalb
des Drehwinkelfeldes.

In der hyperbolischen und der elliptischen Geometrie gilt der Satz in dieser Formulierung nicht, wohl aber
in der folgenden:

A, B und C seien Eckpunkte eines Dreieck mit dem Umkreis K. und seien die Mittelsenkrechten
der Seiten
AB und AC. Wenn dann A auf K weiterwandert, bleibt die Größe des Winkels zwischen
diesen Mittelsenkrechten unverändert.

Dies wird in der folgenden Animation im Kugelkreis-Modell für die drei Geometrien dargestellt. Der Vorteil
dieses Modell liegt darin, dass auch im hyperbolischen oder elliptischen Fall die Winkelmessung euklidisch ist.

Die Animation zeigt in einer Periode drei Umläufe des roten Punktes A auf dem magetafarbenen
Kreis, und zwar für den Zentralpunkt Z auf der z-Achse außerhalb der Kugel (hyperbolischer Fall),
auf der Kugelfläche im Südpol (euklidischer Fall) und innerhalb der Kugel (elliptischer Fall).
Der zwischen den Z-
'Mittelsenkrechten' der Seiten c und b gemessene Winkel ist dabei in allen drei
Fällen unverändert (wenn man Rundungsfehler freundlich übersieht). Dagegen ändert sich der Winkel
bei A im hyperbolischen und im elliptischen Fall. Dass er sich im euklidischen Fall ebenfalls nicht ändert,
liegt daran, dass in der euklidischen Geometrie eine Parallelität existiert mit der Eigenschaft, dass zu
Geraden g und h parallele Geraden einen Winkel der gleichen Größe einschließen wie die des Winkels
zwischen g und h. Im Kugelkreis-Modell sind Z-
'Geraden' mit Z im Südpol genau dann parallel, wenn
sie sich in Z berühren.


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