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Erklärung zu Dreiecks-Sätzen

Geometrie 1 > Dreiecks-Sätze

--> http://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Schwerpunktskoordinaten.pdf


--> http://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Komplexgeometrie.pdf

Eine Reihe von geometrischen Sätzen über das Dreieck, bei denen Winkelgrößen
eine Rolle spielen, gelten auch noch, wenn man das übliche euklidische Winkelmaß
abwandelt. Dazu benutzt man eine sogenannte 'Maßgerade' und einen 'Maßpunkt',
der nicht auf der Maßgeraden liegt. Der orientierte Winkel
w(e,f) zwischen zwei
Geraden
e und f wird dann folgendermaßen definiert:

E bzw. F seien die Schnittpunkte der Geraden e bzw. f mit der Maßgeraden.
h bzw. j seien die Verbindungsgeraden von E bzw. F mit dem Maßpunkt. Dann
ist
w(e,f) die euklidisch gemessene Größe des orientierten Winkels zwischen h und j.
Dabei muss man jedoch Winkelgrößen, die sich um 180° unterscheiden, als gleich
ansehen.

Geht man von einem Kegelschnitt aus, dann kann man dazu eine Maßgerade und
einen Maßpunkt definieren, so dass für das dadurch bestimmte Winkelmaß in Sätzen
wie dem Umfangswinkelsatz oder dem Höhensatz die Rolle des Kreises durch den
Kegelschnitt übernommen wird.

Wenn wie beim Mittelsenkrechten-Satz in der euklidischen Fassung eines Dreieckssatzes
der Mittelpunkt
M einer Strecke AB eine Rolle spielt, muss in einer nicht-euklidischen
Fassung bei Verwendung einer Maßgeraden
g dieser Punkt M anders bestimmt werden:

Die Gerade
h durch A und B schneide die Maßgerade g im Punkt C. Dann ist M
der von
C verschiedener Punkt auf g, für den gilt: .
Wenn
h die Maßgerade nicht schneidet, nimmt man für M wie in der euklidischen
Geometrie den Mittelpunkt von
A und B.
M wird vierter harmonischer Punkt zu A, B, C genannt.

M ist ein Punkt zwischen
A und B, wenn C außerhalb der Strecke AB liegt.

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