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Ptolemäus

Geometrie 1 > Dreiecks-Sätze

Satz von Ptolemäus

Der Kreissehnen-Satz von Claudius Ptolemäus (ca. 100 - 180) lautet in der üblichen Formulierung:
Bei einem Kreissehnen-Viereck mit Sehnen, die sich nicht kreuzen, ist die Summe der Produkte der
Längen von gegenüberliegenden Seiten gleich dem Produkt der Diagonalenlängen. Wir geben hier
eine andere Formulierung mit Hilfe eines signierten Abstands zwischen Kreispunkten P und Q, die
einen Zusammenhang mit den dazu isogonal konjugierten Punkten herstellt

--> Pdf-Datei 'Schwerpunktskoordinaten in der Dreiecksgeometrie'

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Der auf dem Umkreis des Dreiecks ABC bewegte Punkt wechselt seine Bezeichnung zwischen
(P-up) und (P-down). Wenn der Punkt nach einem Umlauf wieder an derselben Stelle P
ankommt, ist die Bezeichnung geändert. Der Trägerpunkt P wird hier in die beiden Zwillings-
Punkte und aufgespalten. Auf den Verbindungsgeraden dieses bewegten Punktes mit den
Eckpunkten ist durch die schwarz gefüllten Pfeile eine Orientierung festgelegt. Auf derGeraden
wird ein signierter Abstand folgendermaßen definiert: Wenn die Richtung von A nach mit
der Richtung des schwarzen Pfeils an A übereinstimmt, ist der Abstand von A und ,
andernfalls ist das Produkt des Abstands von A und mit -1. Entsprechendes gilt für
und auch bei Ersetzung von A durch B oder C.

Die schwarzen Pfeile entstehen durch Spiegelung der weiß gefüllten Pfeile in den Eckpunkten an den
gelb gezeichneten Winkelhalbierenden von
ABC. Diese drei weiß gefüllten Pfeile sind parallel zu
dem an dem Höhenschnittpunkt H angegesetzten weißen Pfeil , der H mit oder verbindet.
Er hat wie die anderen weißen oder schwarzen Pfeile die Länge 1.

Der Pfeil dreht sich gegen den Uhrzeigersinn und steuert dabei die Bewegung des Trägerpunktes
P auf dem Umkreis von
ABC. P bewegt sich doppelt so schnell wie mit dem Uhrzeigersinn. Der
zu P bezüglich
ABC isogonal konjugierte Punkt P° ist der unendlich ferne Punkt auf der Geraden
durch H in Richtung . Das Schwerpunktskoordinaten-Tripel von ist ein Schwerpunktskoordinaten-
Tripel von P°. Da Schwerpunktskoordinaten-Tripel von Punkten bei Multiplikation mit einem Faktor
ungleich Null wieder ein Schwerpunktskoordinaten-Tripel des gleichen Punktes ergeben, ist auch
ein Schwerpunktskoordinaten-Tripel von P°. Dem unendlich fernen Punkt P° sind darum
zwei Punkte auf dem Einheitskreis um H zugeordnet, nämlich (bzw. ) und sein Antipode
(bzw. ) auf dem Einheitskreis. Wenn zu gehört, dann gehört zu .

Die Werte der signierten Abstände bei den Umkreis-Sehnen hängen mit den im Einheitskreis
gezeichneten orientierten Dreiecksflächen zusammen. A* (bzw. B* bzw. C*) sei der Punkt auf dem
Einheitskreis, bei dem in wechselt, wenn der Trägerpunkt P bei A (bzw. B bzw. C) steht. R sei
der Radius des Umkreises. Dann ist der signierte Flächeninhalt des orientierten Dreiecks gleich
. Entsprechendes gilt für und die anderen Eckpunkte. Bei negativen Flächeninhalten
verläuft der Pfeilzug am Rand des schraffierten Dreiecks rechts herum, bei positiven links herum.

Der Pfeil steht senkrecht auf der Orthopolaren vom Trägerpunkt P. Dies ist die Gerade durch die
Punkte, die sich bei Spiegelung von P an den Seitengeraden von
ABC ergeben. Sie ist parallel zu der
Wallace-Geraden von P, die durch die Fußpunkte der Lote von P auf die Seitengeraden verläuft.



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Diese Animation zeigt ein Analogon des Satzes von Ptolemäus, bei dem die signierten Abstände des
Punktes P von den Eckpunkten durch signierte Abstände von den Seitengeraden ersetzt werden.
Dabei ist eine Verdopplung des Punktes P nicht nötig. Durch die Pfeile an den Eckpunkten
A, B und C
wird eine Orientierung auf den Seitengeraden festgelegt. Der signierte Abstand von einer Seitengerade
ist für Punkte links von der Geraden der Abstand im üblichen Sinn. Für die Punkte rechts von der
Seitengerade multipliziert man den Abstand mit -1.

Das Analogon des Satzes von Ptolemäus lautet dann: Für jeden Punkt P ungleich
A, B und C auf dem
Umkreis des Dreiecks
ABC ist die Summe der Quotienten aus den Längen der Dreiecksseiten und den
signierten Abständen des Punktes P von den zugehörigen Seitengeraden gleich Null.

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