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Fourier-Polygone 2

Geometrie 2 > Drehpunktfunktion

Reguläre Fourier-Polygone mit alternierenden Seitenlängen

Unter einer {-m ; m}-Zykloide (m >1) verstehen wir die Drehpunkt-Kurve der Drehpunkfunktion
oder eine Kurve, die daraus durch eine Drehstreckung entsteht. Auf dieser Seite wird
dargestellt, wie sich ausgehend von einer {-m ; m}-Zykloide durch Addition weiterer Sinus-Terme
zur Drehpunktfunktion das regelmäßiges Polygon PS(2n ; m ;1) ergibt, dessen Drehpunktfunktion
die Treppenfunktion ist. Da die Treppenfunktion zwischen den
Werten +1 und -1 hin- und herspringt, ist es sinvoll, bei der Angabe der Seitenlängen des Ziel-Polygons
negative Werte zuzulassen. Die Seiten haben dann abwechselnd die Längen 2 und -2, den Differenzen
der Stufenhöhen an den Sprungstellen entsprechend. Die Umfangslänge aller dieser Polygone ist darum
gleich Null.

Die Evolute der blauen Drehpunktkurve ist orange gezeichnet.


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Die fünf Perioden der Animation gehören zu den Drehpunktfunktionen
,
,
,
und

Diese Funktionen nähern sich der Grenzfunktion , deren
Drehpunktkurve das Quadrat PS(4 ; 2 ; 1) mit den Seitenlängen 2 , -2 , 2 und -2 ist.

Die Gleitschau zeigt im Anschluss an die Animation Standbilder daraus.


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Die Animation zeigt Näherungsfunktionen zu . Die Startfunktion
hat als Drehpunktkurve eine Steiner-Zykloide, die in einer Periode
zweimal durchlaufen wird, wobei die Pfeilrichtungen beim zweiten Durchlauf gegenüber dem ersten
vertauscht sind. Entsprechend wird das regelmäßige Dreieck PS(6; 3 ; 1) , das die Drehpunktkurve
zur Grenzfunktion darstellt, zweimal durchlaufen. Es stellt also
eigentlich ein Sechseck mit der Überschlagungszahl 2 dar, bei dem jeweils zwei Seiten übereinander
liegen, deren Längen den Betrag 2, aber ein unterschiedliches Vorzeichen haben.



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Die Gleitschau zeigt die Drehpunktkurven zu den Funktionen
für m = 2, 3, 4, 5 und 6.
Es sind Näherungskurven der regulären Polygone PS(2m ; m ; 1), deren Seitenlängen alternierend
2 und -2 sind. Die Überschlagungszahl dieser 2m-Ecke ist m -1. Bemerkenswert ist hier, dass sich
überschlagene Polygone ergeben, obwohl das Definitionsintervall nur von 0° bis 360° reicht. Dies
wäre bei ausschließlich positiven Seitenlängen nicht möglich.


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