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Kugelmodell - affines Modell 1

Geometrie 1 > Kubik

Kugelmodell und affines Modell einer Kubik 1

--> Singuläre kubische Kurven und der Satz von den drei Spiegelungen
(http://vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Kubik1.pdf)

-->
Bewegungen auf kubischen Kurven (http://vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Kubik2.pdf)

Eine Kubik wird durch einen ganzrationalen Term f(x,y) in zwei Variablen x und y bestimmt,
bei dem in jedem Summanden die Summe der Hochzahlen von x und y kleinergleich 3 ist. Wenn
man jeden Summanden, bei dem diese Summe kleiner als 3 ist, mit einer Potenz einer dritten
Variablen z multipliziert, so dass für die neuen Summanden die Summe der Hochzahlen von x, y und z
gleich 3 ist, erhält man eine Funktion , die 'homogen vom Grad 3' genannt wird. Das
'Kugelmodell' der Kubik zu f wird mit Hilfe der Menge M der Punkte (x,y,z) im Raum bestimmt, für
die und gilt. Diese Punkte liegen auf einer Kugel mit dem Radius 1 um
den Ursprung. Sie seien 'Kugelpunkte der Kubik' genannt. Die sogenannten 'projektiven Punkte' der Kubik
sind nicht die Kugelpunkte, sondern die Paare von Punkten in M, die spiegelbildlich zum Ursprung liegen,
auch 'Antipodenpaare' genannt. Sie sind die eigentlichen Punkte der Kubik. Eine 'projektive Geraden' wird
von einer Ebene durch den Ursprung bestimmt. Die Menge der projektiven Punkte, die zu einer derartigen
Ebene gehören, ist die Menge der Antipodenpaare, die auf dieser Ebene liegen.
Ein 'affines Modell' einer Kubik wird durch irgendeine Ebene E festgelegt, die die Kugel berührt.
Die Punkte von E, die zur Kubik gehören, sind die Schnittpunkte der Ursprungsgeraden durch Kugelpunkte
der Kubik mit E. Die Punkte im affinen Modell sind also keine Punktepaare, sondern einzelne Punkte. Der
Nachteil dieses Modells liegt darin, dass die zu E parallelen Ursprungsgeraden die Ebene nicht schneiden,
so dass einige projektive Punkte im affinen Modell nicht vorkommen. Sie heißen 'unendlich ferne Punkte' des
affinen Modells. Wenn z. B. E die Ebene ist, die die Kugel im Punkt (0 ; 0 ; 1) berührt, dann gehören zum
affinen Modell, das durch diese Ebene bestimmt wird, genau die Punkte (x ; y; 1), für die f(x,y) = 0 gilt. Die
in diesem affinen Modell fehlenden Punkte der Kubik, gehören zu den Kugelpunkten (x ; y ; 0), für die
gilt.

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Die Animation zeigt verschiedene affine Modelle für die Kubik zu . Der
zugehörige homogene Term ist . Das Kugelmodell der Kubik ist
pinkfarben gezeichnet, das affine Modell rot. Die Ebene E erscheint in dieser Parallelprojektion
als schwarzes Parallelogramm. Die Ebene durch den Ursprung parallel zu E schneidet die Kugel
in einem Großkreis, der hier schwarz gezeichnet ist. Dieser Großkreis repräsentiert die 'unendlich
ferne Gerade', die zum affinen Modell gehört. Die Punkte der Kubik, die darauf liegen, sind schwarz
markiert. Die Punkte, die nicht schwarz markiert sind, stellen jeweils ein Antipodenpaar dar oder den
zugehörigen Schnittpunkt der Geraden dadurch mit der affinen Ebene E.
Wenn die Ebene E die Kugel im Punkt (0 ; 0; 1) berührt, ist das zugehörige affine Modell durch die
Menge der Punkte (x ; y ; 1) gegeben, für die . Im Koordinatensystem von E ist diese
Punktmenge der Graph der ganzrationalen Funktion . In der Animation wurden die
Koordinaten im räumlichen Koordinatensystem mit x', y' und z' bezeichnet, die in der Ebene E mit
x und y. Wenn der Berührpunkt von E nicht der Punkt (0 ; 0; 1) ist, muss diese Unterscheidung
getroffen werden. Im Fall des Berührpunkts (0 ; 1 ; 0) ist, beschreibt dann die
Punktmenge des zugehörigen affinen Modells. Dies ist äquivalent mit . Da hier die
y-Achse des Koordinatensystems von E entgegengesetzt zur z'-Achse gerichtet ist, gilt hierbei y = -z'.
Die x-Achse von E ist gleich gerichtet mit der x'-Achse. Darum ist x = x'. Die Punktmenge dieses
affinen Modells ist darum der Graph der Gleichung .
Wenn die Ebene E die Kugel im Punkt (1 ; 0 ; 0) berührt, ergibt sich entsprechend .




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Hier wird der Graph der kubischen Funktion im Kugelmodell links durch
parallele Geraden senkrecht auf eine Ebene E durch den Ursprung (0 ; 0 ; 0) projiziert. E schneidet
Kugel in einem Großkreis g, der blau gezeichnet ist. g schneidet die pinkfarben gezeichnete Raumkurve
der Kubik in maximal sechs Punkten, von denen je zwei ein Antipodenpaar bilden, das punkt=
symmetrisch zum Ursprung ist. Die blauen Pfeile geben die Geschwindigkeit an, die den Schnitt=
punkten zugeordnet ist. Im Bild rechts wird das Bild der Parallelprojektion gezeigt. Dabei muss man
sich die rot gezeichneten Teile vor der Ebene E vorstellen und die grau gezeichneten dahinter. Der
pinkfabene Punkt hat die Koordinaten (0 ; 1 ; 0). Er ist der unendlich ferne Punkt bei der affinen
Darstellung . In diesem Punkt bildet der Graph eine Spitze, was in der Zeichnung
leider nicht ganz deutlich wird.

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