Es lebe die Geometrie!

Die in der Animation gezeigten blauen Verzahnungskurven berühren sich in Punkten
der rot gezeichneten Kurve. Bei Drehung der Verzahnungskurven bewegen sich die
Kontaktpunkte auf dieser 'Kontaktkurve'. Der schwarze Punkt in der Mitte der
Kontaktkurve ist der sogenannte 'Wälzpunkt'. Die Verzahnungskurven sind so
konstruiert, dass folgende Bedingung erfüllt ist:

(^) Die Verbindungsgerade vom Wälzpunkt mit jedem Kontaktpunkt steht senkrecht
auf der gemeinsamen Tangente in diesem Punkt.

Für reale Zahnräder ist dies nach dem 'Verzahnungsgesetz' notwendig für einen
Kontaktpunkt, über den ein Zahnrad ein anderes antreibt. Andernfalls würde die
Kraftübertragung nicht stoßfrei sein. Hier wird die Bedingung für alle Kontaktpunkte
auf der Kontaktkurve verlangt. Dann ist die Form der Verzahnungskurve bei
Vorgabe der Anzahl der Zähne durch die Kontaktkurve eindeutig bestimmt.

Um das zu verstehen kann man sich folgendes Verfahren zum Zeichnen einer
Verzahnungskurve vorstellen: Man führt einen Zeichenstift vom Wälzpunkt aus

an der Kontaktkurve entlang, wie beim Schreiben einer '8'. Dabei wird unter

dem Stift ein Blatt Papier um den Punkt gedreht, der das Zentrum der
Verzahnungskurve sein soll. Anstatt das Papier zu bewegen könnte man auch
die Kontaktkurve als Führungsschiene für den Stift in Gegenrichtung um das
Zentrum drehen. Die Bedingung (^) erzwingt dann ein bestimmte Verhältnis
der Geschwindigkeiten von Stift und Papier. Die Bewegungsrichtung des
Papiers muss gewechselt werden, wenn der Stift die Eckpunkte der Kontaktkurve
erreicht.

Die unter den Verzahnungskurven gezeichnete Zickzack-Kurve beschreibt die
Lage der Kontaktpunkte bei Drehung zweier Verzahnungskurven, die nach
diesem Verfahren gezeichnet worden sind. Die Bewegung der Parallelen zur
Rechtsachse ist proportional zur Drehgeschwindigkeit der Zahnräder. Jede
Schnittstelle x eines Schnittpunkts K einer Parallelen mit der Zickzack-Kurve
bestimmt folgendermaßen die Lage eines Kontaktpunktes: Die sechs geradlinigen
oder kreisbogenförmigen Abschnitte der Kontaktkurve, deren Endpunkte der
Wälzpunkt oder Eckpunkten der Kontaktkurve sind, werden von 0 bis 5
durchnummeriert. Die nächstkleinere ganze Zahl int(x) unter x legt dann fest,
auf welchem der Abschnitte der Kontaktkurve der Kontaktpunkt liegt. Die
Zahl x - int(x) ist der Quotient der Weglänge zwischen K und einem der Enden
des Abschnitts sowie der Länge dieses Abschnitts.

Siehe auch:
Salow, Edzard : Zahnräder; Die Wurzel, Zeitschrift für Mathematik, FSU Jena, Juli 2011