Es lebe die Geometrie!

Apollonische Kreis-Packungen

Gegeben seien drei sich paarweise außen berührende positiv orientierte reelle Kreise KA, KB und KC
in der xy-Ebene, deren Zentren A, B und C ein Dreieck mit den Seitenlängen ,
und bilden. Dazu betrachten wir den negativ orientierten äüßeren Soddy-Kreis KD, der
KA, KB und KC berührt und dessen 'Äußeres' die Menge der Punkte ist, die durch die Kreislinie von KD
nicht vom Zentrum getrennt werden. In dem zugehörigen dreidimensionalen Raum mit affinen Koordinaten-
Tripeln (x ; y ; z) sei das Paraboloid Par mit der Gleichung definiert. Dazu haben wir
auf den vorangehenden Seiten ' Inversion und Anti-Inversion' und ' Winkel und Abstand' eine symmetrische
Bilinearform erklärt, mit der man
Winkel und Abstände von Kreisen und Spiegelungen an Kreisen in dem zu f gehörigen projektiv-metrischen
Raum beschreiben kann. Die Kreise KX werden darin durch Raum-Punkte RX mit Koordinaten-Quadrupeln
festgelegt, wobei für den gleichen Punkt beschreibt. Für
ist das zugehörige affine Koordinaten-Tripel.

Die von (KA ; KB ; KC ; KD) bestimmte 'apollonische Kreis-Packung' ergibt sich folgendermaßen:
Die Schnittmenge der Äußeren von KA , KB , KC und KD besteht aus vier Kreisbogen-Dreiecken mit
Kreisbögen in verschiedenen Farben. In jede dieser vier Dreiecke wird ein positiv orientierter reeller Kreis
in der vierten Farbe gesetzt, der die drei Kreisbögen berührt, so dass für jedes Kreisbogen-Dreieck drei
neue Kreisbogen-Dreicke entstehen. Dieser Prozess wird ad infinitum wiederholt.

Das erste Bild der Animation zeigt ein Kreis-Quadrupel (KA ; KB ; KC ; KD), deren Kreise zu dem
Quadrupel der ganzzahligen Krümmungen (ak ; bk ; ck ; dk) = (11 ; 14 ; 15 ; -6) gehören. Wir nennen es
'Start-Quadrupel', da es im Folgenden nach jedem neu hinzugefügten Kreis verändert wird. (ak ; bk ; ck ; dk)
ist ein Lösungs-Quadrupel der auf der vorangehenden Seite ' Berühr-Quadrupel' definierten Descartes-
Gleichung . Nach dk aufgelöst ergibt sich . Bei (ak ; bk ; ck ) = (11 ; 14 ; 15 ) sind dies die ebenfalls
ganzzahligen Krümmungen -6 und 86. 86 ist die Krümmung dk* des inneren Soddy-Kreises KD* zu
(KA ; KB ; KC ), der diese Kreise ebenfalls von außen berührt.

Links oben im Bild sind die f-normierten Koordinaten-Quadupel zu (KA ; KB ; KC ; KD) angegeben.
Jedes dieser Quadrupel ergibt sich aus dem affinen Raumpunkt RP des Kreises KP mit dem Koordinaten-
Tripel (px ; py ; pz) nach Erweiterung zum projektiven Koordinaten-Quadrupel (px ; py ; pz ; 1) , indem
man durch den signierten Kreis-Radius
teilt. Dabei wird das Minus-Zeichen bei negativer Orientierung des Kreises benutzt. Das f-normierte
Quadrupel zu KD* steht rechts vom Pfeil neben dem zu KD. Der auf der vorangehenden Seite begründete
Zusammenhang

zwischen den Quadrupeln wird unten auf der Seite mit Zahlen dargestellt. Wenn man die f-normierten
Koordinaten-Quadrupel zu (KA ; KB ; KC ; KD) in der Matrix
zusammenfasst, ergibt sich die Quadrupel-Matrix N* von (KA ; KB ; KC ; KD*) durch Multiplikation von N
von links mit der Matrix . Wegen folgt aus auch .
Wenn nach dem zweiten gelben Kreis KD* ein zweiter blauer Kreis KC* hinzugefügt wird , ist die
Quadrupel-Matrix von (KA ; KB ; KC* ; KD*). Wir nennen darum alle Quadrupel-Matrizen, die so aus der
Start-Matrix entstehen 'zueinander äquivalent'. Man könnte auch mit jeder dieser Matrizen starten ohne damit
die endgültige Kreis-Packung zu verändern.

Von dem Kreis KD* ist im ersten Bild nur der Mittelpunkt als zweiter Endpunkt der gelben Strecke DD*
zwischen den Soddy-Kreis-Zentren sichtbar. Die Spiegelung an dem graue Kreis KS mit dem Zentrum
auf der Strecke DD* vertauscht die Kreis-Linien von KD und KD* . Wir benutzen für die f-normierten
Koordinaten-Quadrupel der Raumpunkt die Abbildung . Damit gilt

da ist. S teilt also die Strecke DD* im
Verhältnis und die Krümmung ist (86-(-6))/4 = 23. Da der Kreis K durch die drei
Berührpunkte von KA , KB und KC diese drei Kreise orthogonal schneidet, bleibt jede dieser Kreis-Linien
bei der Spiegelung an K fest und die Kreis-Linie jedes Berührkreises von KA , KB und KC wird in eine
Kreis-Linie eines solchen Berührkreises gespiegelt. Darum muss die Kreis-Linie von K mit der von KS
übereinstimmen. Folglich ist KS der Inkreis des Dreiecks ABC und der Betrag von sk gleich
. Der Übergang von KD zu KD* wird in der Animation durch eine Verschiebung
des Raumpunkts RD nach RD* mit Hilfe der zu den Zwischen-Punkten auf der Strecke RDRD* gehörigen
Kreise dargestellt.

Nach der Spiegelung an KS wird in der Anzeige der Koordinaten des Kreis-Quadrupels (KA ; KB ; KC ; KD)
oben im Bild KD durch KD* ersetzt. Unter 'Kreis um D' wird in der Anzeige also jetzt der Kreis mit der
Krümmung 86 verstanden. Im Folgenden werden die Kreise KA , KB , KC und KD, deren Koordinaten
angezeigt werden, in der Zeichnung durch größere farbige Mittelpunkte markiert.

Der zweite hinzugefügte Kreis ergibt sich durch Auflösung der Descartes-Gleichung nach ck. Es ist also
.Mit (ak ; bk ; dk ) = (11 ; 14 ; 86 ) ergibt sich das
Lösungs-Paar (15 ; 207). Der zweite blaue Kreis hat also die positive Krümmung 207. Der Kreis, an dem
gespiegelt wird, hat die Krümmung 48. Die folgenden Kreise ergeben sich analog.

Diese Animation läuft nach dem gleichen Programm ab wie die vorangehende. Das Start-Quadrupel
(KA ; KB ; KC ; KD) hat die ganzahligen Krümmungen (ak ; bk ; ck ; dk) = (1 ; 1 ; 4 ; 0). Die
Krümmung 0 gehört zu der gemeinsamen Tangente an KA , KB und KC , die man als Grenzfall eines
Kreises mit unendlich großem Radius ansehen kann. Die Quadrupel der Raum-Punkte, die zu diesen
Geraden in der xy-Ebene gehören, haben die vierte Komponente Null und können als 'unendlich ferne'
Punkte des dreidimensionalen projektiven Raums angesehen werden.

Bei diesem Start-Quadrupel sind nicht nur die Krümmungen ganzzahlig, sondern auch alle Komponenten
der f-normierten Koordinaten-Quadrupel, und dies gilt auch für die daraus abgeleiteten Kreis-Quadrupel,
also für alle Kreise der Kreis-Packung. In der folgenden Gleitschau wird gezeigt, dass dies auch für die
Kreis-Packung der ersten Gleitschau gilt, wenn man die Start-Kreise mit einer geeigneten euklidischen
Bewegung an einem anderen Ort plaziert.

Das erste Bild der Animation zeigt das Kreis-Quadrupel (KA ; KB ; KC ; KD) mit den ganzahligen
Krümmungen (ak ; bk ; ck ; dk) = (11 ; 14 ; 15 ; -6) der ersten Animation mit A und B auf der x-Achse
und dem Berühr von KA und KB Ursprung. Dann sind die Komponenten der f-normierten Quadrupel
von KA und KB ganzzahlig, nicht aber die von KC und KD. Im zweiten Bild wurden KA , KB , KC
und KD an KD gespiegelt, auf die Koordinaten-Quadrupel also die folgende Funktion (*) angewandt:
.
Für KA , KB und KC ergibt sich wegen . Für KD errechnet man wegen
. Bei KD wird also nur Inneres und Äußeres vertauscht.
Es ergibt sich das neue Kreis-Quadrupel (KA ; KB ; KC ; KD) mit
mit deutlich verkleinerter
Summe der drei positiven Krümmungen.

Im dritten Bild wurde erneut an dem Kreis mit der negativen Krümmung gespiegelt Man erhält so das
dritte Kreis-Quadrupel mit.
Dies ist das Kreis-Quadrupel der zweiten Animation, allerdings in verdrehter Lage, denn dort hatten
die Kreise mit dem Radius 1 ihr Zentrum in den Punkten (-1 ; 0) und (1 ; 0). Bei dieser Verdrehung ging
offenbar die Ganzzahligkeit einiger Komponenten verloren. Darum wird im nächsten Schritt die Verdrehung
rückgängig gemacht. Der Drehpunkt ist dabei der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Punkte-Paare
((ax,ay);(-1;0)) und ((cx,cy);(1;0)) . Diese Drehung wird auch auf das erste Kreis-Quadrupel angewandt,
so dass dieses in eine Lage kommt, in der alle Komponenten der f-normierten Quadrupel ganzzahlig sind.
Denn das gedrehte erste Kreis-Quadrupel ergibt sich aus dem dritten durch zweimalige Anwendung der
Spiegelungs-Funktion (*), die ganzzahlige Komponenten in ganzzahlige abbildet. Jerzy Kocik hat gezeigt,
dass dieses Verfahren mit eventuell leichten Variationen für Start-Quadrupel mit ganzzahligen Krümmungen
stets zu einer Plazierung mit nur ganzzahligen Komponenten führt.

Die anschließenden Bilder der Animation wiederholen den Aufbau der Kreis-Packung der ersten Animation
für ganzzahlige Komponenten.

Diese Gleitschau bezieht sich auf die Kreis-Packung zum Start-Quadrupel (KA ; KB ; KC ; KD), deren
Kreise zu dem Quadrupel der ganzzahligen Krümmungen (ak ; bk ; ck ; dk) = (11 ; 14 ; 15 ; -6) gehören.
Dabei betrachten wir die Kreise der Packung, die sich zwischen zwei sich berührenden 'Rahmen-Kreisen'
R0 und R1 zu einer Kette R0 und R1 berührender Kreise zusammenschließen, die wir nach Pappos von
Alexandria ( um 300 ) Pappos-Kette nennen. Siehe dazu auch die Seite 'Satz von Poncelet>nicht-euklidisch'.

In der ersten Sequenz der Gleitschau ist R0 = KA und R1 = KD. Die Pappos-Kette besteht dann aus
grünen und blauen Kreisen, zu denen KB und KC gehören. Die Berühr-Punkte zum Nachbar-Kreis
liegen auf dem grauen Kreis O, der alle Kreise der Kette orthogonal schneidet. Durch die Spiegelung
an O werden die Kreis-Linien von R0 und R1 vertauscht. Die Krümmung von O ist die halbe Differenz
der Krümmungen von R1 und R0. Dies ist am unteren Rand des Bildes ablesbar.

Im ersten Bild der ersten Sequenz ist der blaue Kreis um S mit der Krümmung 47 gelb markiert. Dazu
gehört der hellbau unterlegte dazu 'polare' Kreis um Sp durch die Berühr-Punkte von KS, KR0 und KR1,
der Ankreis des Dreiecks mit den Eckpunkten S, R0 und R1 ist. Die Tangenten in diesen Berühr-Punkten
treffen sich also in Sp. Die mit einen Quadrat markierten Berührpunkte von KR0 und KR1, R1 und KS,
sowie KS und KR0 seien T0,T1 und T2 genannt.
Die Punkte T0, Sp, T1 und R1 bilden ein Drachen-Viereck mit den Radien rsp von KSp und r1 von KR1
als Schenkel-Längen und dem markierten Winkel als Diagonalen-Winkel bei R1.
Die Punkte T0, Sp, T2 und R0 bilden ein Drachen-Viereck mit den Radien rsp von KSp und r0 von KR0
als Schenkel-Längen und dem markierten Winkel als Diagonalen-Winkel bei R0.
Die Punkte T2, Sp, T1 und S bilden ein Drachen-Viereck mit den Radien rsp von KSp und rs von KS
als Schenkel-Längen und dem Winkel als Diagonalen-Winkel bei Sp.
Daraus folgt ,
wobei unter den Radien positive Zahlen verstanden werden. Es folgt
. Für den Zusammenhang zwischen den Krümmungen
r0k, r1k, spk und sk von KR0, KR1, KSp und KS ergibt sich daraus unter der Berücksichtigung, dass die
Krümmung von KR1 negativ ist, die Gleichung .

Dieser Zusammenhang ist insbesondere deshalb von Nutzen, weil die Differenz der Krümmungen von
benachbarten KSp-Kreisen mit der Summe der Krümmung von KR1 und KR0 übereinstimmt, die wir
als 'Rahmenweite' bezeichnen. Die Folge der Krümmungen der KSp-Kreise ist also arithmetisch. Zur
Begründung spiegelt man alle Kreise an dem Kreis mit dem Radius 1, dessen Zentrum im Berührpunkt
von KR0 und KR1 liegt. Die Bilder von KR0 und KR1 sind dann zwei parallele Geraden im Abstand
d = 1/r0 - 1/r1 = 11 + (-6), die Tangenten der Bilder von den Kreisen KS der Pappus-Kette mit dem
Durchmesser d sind. Die Bilder der dazu orthogonalen Kreise KSp sind parallel Geraden, welche die
Bilder von den Kreisen KS in deren Mitte schneiden. Darum ist der Abstand benachbarter Bild-Geraden
von KSp-Kreisen ebenfalls gleich d.

Diese Zusammenhänge gelten analog auch in den folgenden Sequenzen der Gleitschau mit verschiedenen
Rahmen-Kreisen.

Zur Rechnung mit Quadrupeln (KA ; KB ; KC ; KD) paarweise außen berührender reeller
orientierter Kreise mit f-normierten Koordinaten :

Die Koordinaten-Quadrupel von KA , KB , KC und KD seien die Zeilen einer 4*4-Matrix N wie schon
auf der vorhergehenden Seite ' Berühr-Quadrupel'. Mit der zu f gehörigen Maß-Matrix
gilt dann , weil für die f-normierten Zeilen gilt für j = k,
da die Kreise reell sind , und für , da sie sich von außen berühren. Aus Det(M) = -1,
Det(Q) = -16 und folgt, dass der Betrag der Determinante
jedes Berühr-Quadrupels N gleich 4 ist.

In den obigen Animationen wurde die Berechnung eines weiteren Kreises K* allein durch die aktuelle
Quadrupel-Matrix N und die Auswahl einer Zeile bestimmt. Dann ergab sich die Summe der f-normierten
Quadrupel von K und K* als doppelte Summe der Quadrupel der übrigen Zeilen. Bei Auswahl der
4. Zeile gilt also
=
Siehe dazu die Herleitung der Formel (**) am Schluss der Seite ' Berühr-Quadrupel)'.
Daraus folgt die Gleichung dk + dk* = 2(ak +bk + ck) für die beiden Lösungen dk und dk* der
Descartes-Gleichung und auch die Gleichung
für
die Lösungen der komplexen Descartes-Gleichung
.
Es sei . Bei Auswahl der 4. Zeile von N ist die neue Quadrupel-Matrix
. Entsprechendes gilt bei Auswahl einer anderen Zeile mit analoger Definition von ,
und . Für j = 1, 2, 3 und 4 ist die Einheits-Matrix . Die Folge der Quadrupel-Matrizen
in den Animationen ergibt sich durch eine Folge von Multiplikationen der jeweils aktuellen
Quadrupel-Matrix N von links mit einer der Matrizen . Wenn man zum Beispiel die Matrix des
Start-Quadrupels abwechselnd von links mit und multipliziert, ergibt sich zu den Rahmen-Kreisen
KA und KD eine Steiner-Kette aus grünen und blauen Kreisen. Dabei hat die Folge der Matrix-Potenzen
von ein deutliches Muster, nämlich
, , , , .

q sei eine Zeile von N und K der zugehörige Kreis. Die andern Zeilen seien mit q1, q2 und q3 bezeichnet
und die zugehörigen Berühr-Kreise von K mit K1, K2 und K3. Die Spiegelung an dem Radikal-Kreis
(Potenz-Kreis) KS der Berühr-Kreise von K vertauscht die Kreis-Linien von K und K*. KS schneidet
die Berühr-Kreise orthogonal in den Berühr-Punkten von K und hat die Seiten-Geraden des Dreiecks der
Zentren der Berühr-Kreise als Tangenten. KS ist also Inkreis oder Ankreis dieses Dreiecks. Da KS die Berühr-
Kreise von K orthogonal schneidet, ist sein Raum-Punkt RKS Schnitt-Punkt der drei Ebenen mit den
Quadrupeln q1.M, q2.M und q3.M, die polar zu den Raum-Punkten der Berühr-Kreise sind. Darum ist das
Kreuz-Produkt Quadrupel von RKS.
ist die Matrix mit den Zeilen , , und
. Darum ist das Quadrupel von KS proportional zu der Zeile von ,
deren Nummer mit der Nummer der Zeile von K in N übereinstimmt. Aus folgt,
dass die Zeilen von f-normiert sind. Wir nennen die Matrix
'zu N polare Matrix'. Man errechnet
.
Aus folgt, dass der Form-Wert von f für die
f-normierten Quadrupel von K und KS 2 oder -2 ist, je nachdem, ob KS negativ oder positiv orientiert ist.


.