Es lebe die Geometrie!

Berühr-Abschnitte und der Satz von Casey

Wenn ein Kreis KA um A und eine Kreis KC um C von einem Kreis KM um M beide berührt werden,
nennen wir den Abstand d(P;Q) der Berührpunkte P und Q 'Berühr-Abschnitt' und die Strecke PQ
'Berühr-Sehne'. Wenn M unendlich ferner Punkt ist und darum der Kreis um M eine Gerade, ist d(P;Q)
'Tangenten-Abschnitt'. Die Strecke PQ sei 'Tangenten-Strecke ' genannt.Wenn zwei berührende Kreise auf
verschiedenen Seiten der Tangente im Berühr-Punkt liegen, nennen wir die Berührung 'extern', andernfalls
'intern'. Die Berührung in P und Q ist 'ungleichartig', wenn die eine extern ist und die andere intern, anderfalls
ist sie 'gleichartig'. Wenn eine Tangente g gleichartig berührt, liegen KA und KC auf der gleichen Seite
von g und g inzidiert mit dem äußeren Ähnlichkeits-Zentrum, anderfalls liegen KA und KC auf verschiedenen
Seiten und g geht durch den inneren Ähnlichkeits-Zentrum zwischen KA und KC. Analog unterscheiden wir die
Berührung von KA und KC durch einen Kreis. Wenn die Geraden PQ nicht AC ist, verläuft sie durch genau
einen der beiden Ähnlichkeits-Zentren. Wenn dies der äußere ist, nennen wir den berührenden Kreis durch
P und Q 'äußeren' Berühr-Kreis, sonst 'inneren'.

Satz von Casey : Gegeben seien vier Kreise KA, KB, KC und KD und für jedes Paar dieser Kreise eine
gemeinsame Tangente. Die zugehörigen Tangenten-Abschnitte seien tbc, tca, tab und tad, tbd, tcd. Unter
den drei Produkten tbc tad, tca tbd und tca tcd sei tca tbd am größten. Dann gibt es genau dann einen
Kreis, der alle vier Kreise berührt, wenn gilt.

Dass aus der Existenz eines gemeinsamen Berühr-Kreises die Tangentenabschnitts-Gleichung folgt, wurde
von John Casey (1820-1891 bewiesen und die Umkehrung von Henry Baker (1866-1956). Die folgenden
Animationen zielen auf den Satz von Casey.

Das erste Bild dieser Animation zeigt die Kreise KA und KC mit dem äußeren Berühr-Kreis KMa und
den internen Berühr-Punkten P auf KA und Qa auf KC. Die Verbindungs-Gerade der Raumpunkte RA
und RC schneidet das Paraboloid Par in zwei Punkte zwischen RA und RC. Die Inversion an dem grünen
Kreis um Äaußen vertauscht KA und KC und lässt darum KMa fest. Darum schneidet KÄaußen KMa
orthogonal. Äaußen ist äußeres Ähnlichkeits-Zentrum zu KA und KC. Die Koordinaten-Quadrupel a, c, spa
und ma gehören zu den Raumpunkten RA, RC, RÄaußen und RMa, welche die Kreise im dreidimensionalen
projektiv-metrischen Raum zur Bilinear-Form repräsentieren.
In der nicht f-normierten Form mit vierter Komponente 1 geben die ersten beiden Komponenten die
Koordinaten des Kreis-Zentrums in der xy-Ebene an und der Radius ist .
Die Kreise sind hier reell, da . Darum ergibt die f-normierte Funktion
bei eine reelle Zahl. Sie kann mit Hilfe des im ersten Bild nicht gezeigten Tangentenabschnitts
auch folgendermaßen berechnet werden:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse d(A;C) und der Differenz der Radien und von KC
und KA als Kathete ist der Tangentenabschnitt die andere Kathete. Man errechnet



Im ersten Bild sind die Zahlenwerte des Berühr-Abschnitts d(P;Qa) und des Radius in dem gleichschenkligen
Dreieck PQaMa angezeigt. Sei die Größe des Winkels bei Ma. Nach dem Cosinus-Satz ist dann , also . P, A und Ma sind kollinear. Um die relative
Lage dieser drei Punkte zueinander zu charakterisieren, definieren wir:

sei gleich 1, wenn P zwischen A und Ma liegt, andernfalls gleich -1.

Im Dreieck ACMa errechnet man

, also
und damit
.

Wir nennen 'äußere
Berühr-Konstante'. Sie ergibt für alle äußeren Berühr-Kreise KMa von KA und KC den gleichen Wert,
auch dann, wenn Ma unendlich ferner Punkt ist, also KMa zu einer Tangente wird und zu Null.

Im ersten Teil der Animation durchläuft P links herum den Kreis KA und das Bild Qa bei Spiegelung an
KÄaußen rechts herum KC, wobei Bka unverändert bleibt. Nach einem Umlauf wird im zweiten Teil der
innere Berühr-Kreis KMi um Mi hinzugefügt, der KA in P gleichartig wie KMa und KC in Qi ungleichartig
wie KMa berührt. Qi ist Bild von P bei der Anti-Inversion am hellgrünen Kreis KÄinnen. Der Radius von
KÄinnen ist imaginär, da der zugehörige Raum-Punkt unterhalb des Paraboloids Par liegt. Während Äaussen
nicht auf der Berühr-Sehne von KMa liegt, inzididiert der innnere Ähnlichkeits-Punkt mit der Berührsehne von
KMi. Die Formel für den inneren Tangenten-Abschnitt ist darum mit der Summe
der Radien anstatt der Differenz wie bei . Wir definieren hier zu Charakterisierung den Lage von P, A und Mi:

sei gleich 1, falls P zwischen A und Mi liegt, andernfalls gleich -1.

Dann gilt hier und
und die 'innere Berühr-Konstante
ist .

Im dritten und vierten Teil der Animation ist die rote Verbindungs-Gerade g der Raum-Punkte RA und RC so
weit nach oben verschoben, dass sie Par nicht mehr trifft. Dann schneiden sich KA und KC in zwei Punkten,
für welche die Gerade h durch die darunter liegenden Punkte auf Par polar zu g ist. KÄaussen und KÄinnen
sind orthogonale Inversions-Kreise mit reellen Radien. Die Definitionen von Bka, Bki, und und auch die
Beziehungen untereinander und zu fn(a;c) sind gleich wie in den ersten beiden Teilen der Animation, wobei die
gegenüber den ersten beiden Teilen geänderte Lage von P, A und Mi beachtet werden muss. Aber für
ist die Deutung als Tangenten-Abschnitt nicht möglich, da es keine inneren Tangenten gibt. Bki und sind
negativ und folglich imaginär. Hier ist aber eine geometrische Deutung von mit Hilfe der Größe des
Schnitt-Winkels von KA und KC möglich. Denn

.
Analog ist
.

In den beiden letzten Teilen der Animation schneidet die Verbindungs-Gerade der Raumpunkte RA und RC das
Paraboloid Par in zwei Punkten, die aber anders als in den ersten beiden Teilen nicht zwischen RA und RC liegen.
Auch hier bleiben die Definitionen und Beziehungen gleich wie in den ersten beiden Teilen, allerdings auch hier mit
anderen Werten für und . Bka, Bki, und sind negativ und folglich sowohl als auch imaginär.

Für alle Kreis-Spiegelungen gilt . Der Term fn(a;c) ist also invariant gegen Kreis-
Spiegelungen. Wegen und ist darum die Menge {Bka;Bki}
invariant gegen Kreis-Spiegelungen, denn jeder gemeinsame Berühr-Kreis von KA und KC wird in einen
gemeinsamen Berühr-Kreis der Spiegelbilder abgebildet. Dies erweist sich als bedeutsam für den unten
angegeben Beweis zum Satz von Casey.

Es ist möglich, dass bei der Spiegelung ein äußerer Berühr-Kreis von KA und KC in einen inneren Berühr-
Kreis der Bilder abgebildet wird oder ein innerer in einen äußeren. Dies ist genau dann der Fall, wenn das
Zentrum des Kreises, an dem gespiegelt wird, im Inneren von KA und im Äußeren von KC oder im Inneren
von KC und im Äüßeren von KA liegt. Dann ist und .

Das erste Bild der Animation zeigt die drei Kreise KA, KB und KC, die den Kreis KE intern berühren
und den Kreis KD, der KE extern berührt. KD ist mit den internen Kreisen durch eine innere Tangenten-
Strecke verbunden und die internen Kreise untereinander durch äußere Tangenten-Strecken. Deren Längen
sind in der Mitte der Strecken angezeigt. Die Berühr-Punkte mit KE sind durch sechs gelbe Berühr-Strecken
verbunden, deren Länge ebenfalls angezeigt ist. Die oben links angegebenen Koordinaten der zu den Kreisen
gehörigen Raum-Punkte haben 1 als vierte Komponente, sodass die ersten beiden Komponenten das Kreis-
Zentrum in der xy-Ebenen angeben. Die Werte von f für die Paare der f-normierten Quadrupel stehen oben
rechts.

Unten im Bild findet man gelb eingerahmt die Bestätigung für den Satz von Ptolemäus über die sechs
Verbindungs-Strecken sbc, sca, sab, sad, sbd und scd von vier Punkte auf einem Kreis, die hier die Berühr-
Punkte mit KE sind. Wenn nämlich unter den Paar-Produkten , und das dritte am
größten ist, gilt . Nach dem Satz von Casey gilt die entsprechende Gleichung
für die Tangenten-Abschnitte der Berühr-Kreise von KE, nämlich . Dies kann
mit dem oben begründeten Zusammenhang zwischen Berühr-Abschnitt und Tangenten-Abschnitt bewiesen
werden, wobei der Berühr-Kreis für alle Kreis-Paare KE ist. Für das Kreis-Paar KB, KC ist nämlich
und für das Kreis-Paas
KA, KD. Hiermit folgt nach Wurzel-Ziehen mit


Hieraus folgt wegen und durch Division mit
die entsprechende Gleichung


Im ersten Teil der Animation wird KD berührend um KE herumgeführt. Dabei bleibt die Casey-Gleichung
bei veränderten Werten für tad, tbd und tcd gültig. Im zweiten Teil wird der Radius von KD bei externer
Berührung im gleichen Punkt bis Null verkleinert und dann bei interner Berührung wieder vergrößert. Auch
beim Radius Null bleibt die Casey-Gleichung erhalten, fn(a;d), fn(b;d) und fn(c;d) sind aber nicht definiert,
da dann f(d;d) = 0 ist. Wenn KD im Innern von KE liegt, muss die oben angegebene Begründung in


abgewandelt werden. Wenn der Radius von KD kleiner als der von KE ist, gibt es keine gemeinsamen
Tangenten von KD mit KA, KB oder KC. Dann gilt aber weiterhin die mit fn angegebene Fassung der
Casey-Gleichung.

Nach dem Rückweg von KD in die Ausgangs-Stellung werden die Verbindungs-Strecken des Raum-Punkts
RE mit RA, RB, RC und RD gezeigt, einschließlich ihrer Verlängerung bis zum Berühr-Punkt mit dem
Paraboloid Par. Die Schnittpunkte der Parallelen zur z-Achse durch die Berühr-Punkte auf KE mit Par
liegen in der zu RE bezüglich Par polaren Ebene. Nach einem Umlauf um KE wird auch die Stellung des
Augen-Punkts der Projektion verändert.

Dass aus der Gültigkeit der Casey-Gleichung die Existenz eines Kreises folgt, der alle vier Kreise berührt,
deren Tangenten-Abschnitte in der Gleichung vorkommen, erfordert etwas mehr Aufwand. Wir schließen
uns der Darstellung von Roger A. Johnson in seinem Lehrbuch 'Advanced Euklidean Geomeztry' an. Die
folgende Gleitschau veranschaulicht den Beweis.
.

Das erste Bild der Gleitschau zeigt die drei Kreise KA, KB und KC, die den Kreis KE intern berühren
und den Kreis KD, der KE extern berührt. Die Tangenten-Strecken und die Verbindungs-Strecken der
Berühr-Punkte sind schwarz bzw. gelb eingezeichnet, zusammen mit den Strecken-Längen. Die Gleichungen
nach dem Satz von Casey bzw. Ptolemäus sind unten auf der Seite angegeben, auch in der Variante mit
der Funktion fn. Beim Beweis, dass aus der Gültigleit der Casey-Gleichung die Existenz eines gemeinsamen
Berühr-Kreises folgt, benutzen wir keine Argumente, die sich auf KE beziehen, setzen aber voraus, dass die
Casey-Gleichung gilt.

Im ersten Schritt verkleinern wir den Radius von KD und vergößern die Radien von KA, KB und KC um den
gleichen Betrag, ohne die Mittelpunkte zu verändern. Dabei bleibt die Casey-Gleichung weiterhin gültig, weil
sich die Tangenten-Abschnitte nicht änderen. Das ergibt sich aus der Berechnung der Tangenten-Abschnitte
mit Hilfe des Abstands der Zentren und der Differenz bzw. der Summe der Radien. Dies zeigen die Bilder
2 bis 8 der Gleitschau. In Bild 8 Ist KD zu einem Null-Kreis geschrunpft. Da sich dieser Prozess umkehren
lässt, reicht es zu zeigen, dass es zu den veränderten Kreisen einen Kreis gibt, der KA, KB und KC berührt
und durch den Punkt D geht.

Dazu wird in Bild 9 (und etwas vergrößert in Bild 10) ein Kreis KS eingeführt, dessen Zentrum S gleich D
ist und der einen beliebig gewählten Radius größer als Null hat. Die Spiegelung der Kreise KA, KB und KC
an KS ergibt die Bilder KAs, KBs und KCs . Die Tangenten-Abschnitte zu den drei Paaren dieser Bilder
bezeichnen wir mit ts. Wir zeigen, dass die Casey-Gleichung genau dann gilt,
wenn ist. Dazu sind unten links im Bild 9 die Gleichungen für den Zusammenhang
zwischen t und ts angegeben, die daraus folgen, dass die Berühr-Konstante
invariant gegen Kreis-Spiegelungen ist. Es ist also zum Beispiel und
folglich . Die Gleichungen unten rechts auf Bild 9 folgen aus dem am Anfang
der Seite ' Inversion und Anti-Inversion' begründeten Zusammenhang zwischen den Radien
von Bild- und Urbild-Kreis bei der Spiegelung am Kreis KS mit dem Radus und dem Zentrum S = D,
wobei der Abstand von S zum Berühr-Punkt der Tangente durch S an KA ist. Daraus folgt
und mit analogen Gleichungen auch
.
ist also äquivalent mit .

Es bleibt darum zu zeigen, dass äquivalent damit ist, dass die Tangenten-Strecken zu
, und ein ausgeartetes Dreieck bilden, so dass die Berühr-Punkte kollinear sind. Dazu wird die
Methode der Radien-Reduzierung auf KAs, KBs und KCs angewandt, wobei hier der kleinste der drei Kreise
KCs zu dem Null-Kreis zum Punkt Cs schrumpft und KAs unnd KBs zu kleineren Kreisen KAs' unnd KBs',
ohne dass sich die Werte der Tangenten-Abschnitte und die Zentren ändern. PQ sei die Tangenten-Strecke des
längsten der drei Tangenten-Abschnitte . Die Punkte, deren Potenz bezüglich KAs' gleich sind, liegen
auf einem Kreis K1 um As, der die Strecke PQ in einem Punkt Z schneidet. Wegen der Gleichung
ist der Abstand Z vom Berühr-Punkt Q der Tangenten-Strecke PQ mit KBs gleich .
Z liegt also auf dem Kreis K2 um Bs, dessen Punkte bezüglich KBs die Potenz haben. Da K1 und K2 nur
zwei gemeinsame Punkte haben, nämlich Z und den an der Geraden AsBs gespiegelten Punkt Z', muss Cs mit
Z oder Z' übereinstimmen. Darum liegt Cs auf einer Tangenten-Strecke des Kreis-Paars Kas', KBs' und die
drei Kreise KAs, KBs und KCs haben eine gemeinsame Tangente, deren Bild bei der Spiegelung an KS der
gesuchte gemeinsame Berühr-Kreis von KA, KB, KC und KD ist.


.

Das Bild zeigt das Dreieck ABC mit dem den Ex-Kreisen KDa, KDb, KDc und dem Inkreis KD0, die alle
drei Seiten-Geraden berühren. Die Abstände zwischen den Berühr-Punkten jeder Seiten-Gerade g hängen
folgendermaßen mit den Seiten-Längen a, b und c zusammen: Der Abstand des Inkreis-Berührpunkts vom
Berühr-Punkt des Ex-Kreises KDx auf der gleichen Seite von g wie der Inkreis stimmt mit der Seiten-Länge x
überein, und der Abstand des Inkreis-Berührpunkts vom dritten Ex-Berührpunkt ist die Differenz der Seite-
Längen ungleich x. Für die Seiten-Gerade BC ist diese Differenz hier c - b, da c größer als b ist, und der
Abstand des Berühr-Punkts von KD0 zu dem von KDb bzw. KDc beträgt b bzw. c. Darum ist der externe
Tangenten-Abschnitt und der intene Tangenten-Abschnitt , also .
Wegen entsprechender Rechnungen für die beiden anderen Seiten-Geraden folgt die Casey-Gleichung
. Nach dem Satz von Casey gibt es
also einen Kreis KE, der KDa, KDb, KDc und KD0 berührt. Dies ist der Neun-Punkte-Kreis (Feuerbach-
Kreis), auf dem neben den Berühr-Punkten mit dem Inkreis und den Ex-Kreisen auch die drei Seiten-Mitten,
die drei Höhen-Fußpunkte und die drei Euler-Punkte (Mitten zwischen dem Ortho-Zentrum und den Eck-
Punkten) liegen.

Das Koordinaten-Tripel mit Normalen-Einheitsvektor der Seiten-Geraden BC in der xy-Ebene ist
, da das Skalar-Produkt mit den durch eine dritte Komponente 1 erweiterten
Koorinaten-Paaren von B und C Null ergibt. Darum ist f-normiertes Quadrupel
von BC, betrachtet als Kreis mit unendlich fernem Radius. Das Vorzeichen legt dabei eine Orientierung fest.
Entsprechend ergibt sich für CA bzw. AB das Quadupel bzw. .
L sei die Matrix, deren erste drei Zeilen diese Quadrupel sind und deren vierte Zeile das f-normierte
Quadrupel des Neun-Punkte-Kreises KE ist. N sei die Matrix mit den f-normierten Quadrupeln von KDa,
KDb, KDc und KD0 und M die Maß-Matrix .Wenn wir für die Quadrupel von BC, CA
und. AB das Vorzeichen '+' wählen, errechnet man mit, da alle Kreise
von L alle Kreise von N berühren, und zwar genau die Kreise intern, die in der gleichen Zeile stehen, so dass
in der Haupt-Diagonalen von nur 1 = cos(0°) vorkommt und sonst nur -1 = cos(180°) . Daraus
errechnet man , woraus sich mit der letzten Zeile eine Berechnung des neun-Punkte-Kreises
aus den Ex-Kreisen und dem Inkreis ergibt.

Das erste Bild der Animation zeigt einen entsprechenden Zusammenhang wie im vorangehenden Bild, wobei
die drei Seiten-Geraden BC, CA und. AB durch die reellen Kreise um A, B und C ersetzt wurden. Dies sind
die kleineren der beiden roten bzw. grünen bzw. blauen Kreise. Die reellen Kreise um Da, Db Dc und D0
berühren KA, KB und KC. Der dem Neun-Punkte-Kreis entsprechende reelle Kreis KE berührt KDa, KDb,
KDc und KD0. Jeder der acht Kreise hat also vier Berühr-Punkte. Sei L die Matrix mit den f-normierten
Quadupeln von KA, KB, KC und KE , die oben links im Bild stehen, und N die Matrix der f-normierten
Quadupel von KDa, KDb, KDc und KD0 oben rechts. Die vierten Komponenten aller dieser Quadrupel sind
die Kehrwerte der zugehörigen positiven Radien. Dann ist die oben
links angegebene Berühr-Matrix.

Bei der Begündung dafür, dass KDa, KDb, KDc und KD0 einen gemeinsamen Berühr-Kreis haben,
übernehmen hier die Sinus- oder Kosinus-Werte der halben Schnitt-Winkel der Kreis-Paare von KDa,
KDb, KDc und KD0 die Rolle der Tangenten-Abschnitte, da sich die Kreise schneiden. Zum Beispiel ist
und .

Die Entscheidung-Regel für die Wahl von sin oder cos bzw. 1 - fn oder 1 + fn ist folgende:
Wir nennen die vierte Zeile von L 'Berühr-Signatur sig von KE bezüglich KDa, KDb, KDc und KD0'. Hier
ist sig = (1 ; 1 ; -1 ; 1), da der gemeinsame Berühr-Kreis KE die Kreise KDa, KDb und KD0 von innen und
KDc von außen berühren sollen. Wenn zu KDx bzw. KDy die i-te bzw. k-te Komponente von sig gehört
und diese übereinstimmen, wähle , andernfalls .

Der achte Kreis KE, der beim Dreieck dem Neun-Punkte-Kreis entspricht, wird als Hart-Kreis bezeichnet nach
Andrew Hart (1811-1890). Dass es diesen Kreis gibt, kann mit dem Satz von Casey daraus geschlossen werden,
dass jeder der vier Kreise KDa, KDb, KDc und KD0 jeden der drei Kreise KA, KB und KC berührt. Um das zu
zeigen, benutzen wir die Abkürzung . Es soll mit analogen Abkürzungen
die Gleichung unten im ersten Bild begründet werden, nämlich , wobei sich die
Zahlen nach der oben angegebenen Regel aus ber Berühr-Signatur (1;1;1;-1) ergeben. Auf Grund der Berühr-
Signaturen in den ersten drei Zeilen der Berühr-Matrix oben im Bild gilt



Zieht man von der Summe der Terme in der zweiten und dritten Gleichung den Term in der ersten ab, erhält man
die gewünschte Gleichung.

In der Animation wird der Effekt einer Vergrößerung der y-Komponente von KC gezeigt. Dabei nähert sich
KDc einer gemeinsamen Tangente von KA und KB. Nachdem KDc die Krümmung Null erreicht hat, wechselt
das Zentrum von KDc auf die andere Seite der Tangente. Wenn dann sig nicht verändert wird, fällt KE mit KC
zusammen, sodass.nur sieben statt acht Kreise sichtbar sind. Darum wurde sig in (1; 1 ; 1 ; 1) geändert, sodass
KE den Kreis KDc von innen berührt.

Zum Zusammenhang zwischen der Casey-Gleichung und f-normierten Kreis-Quadrupeln :

Gegeben seien vier reelle Kreise KA, KB, KC und KD in der xy-Ebene des dreidimensionelen projektiv-
metrischen Raums mit der Bilinearform . Die Quadrupel dieser
Kreise seinen normiert und zeilenweise in der Matrix zusammengefasst.
Mit der zu f gehörigen Maß-Matrix ist dann die Matrix der Formwerte
mit wegen der f-Normierung.
Wir beschreiben die Matrix kürzer durch wegen der Symmetrie zur Haupt-
Diagonalen. Jede Komponente f(x;y) von ist der Arccos-Wert der Größe des Schnittwinkels der Kreise
KX und KY, falls diese Punkte gemeinsam haben, oder andernfalls des Abstands von KX und KY. (Der Winkel
von KX und KX ist arccos(1) = 0 .) Siehe dazu die Seite ' Winkel und Abstand'.

Ein fünfter reeller Kreis KE berührt alle vier Kreise KA, KB, KC und KD genau dann, wenn für sein f-normiertes
Quadrpel gilt : , wobei das Plus-Zeichen im Fall der internen
Berührung gilt und das Minus-Zeichen im Fall der externen, denn cos(180°) = -1. Wir betrachten zunächst den
Fall . Wegen ist . Es gibt diesen Kreis also genau dann,
wenn f-normiert ist, also



folglich wenn sich für den Term
Null ergibt.
Sei k = 1 oder k = -1. Mit den Abkürzungen , ,
und mit gleichem k bei
u, v und w kann man g(ab;bc;ac;ad;bd;cd) in der Form g = h / n darstellen, wobei der Nenner n ungleich
Null ist. g wird also genau dann Null, wenn h = 0 ist. Die Auflösung der Gleichung h(u;v;w) = 0 nach u ergibt
für positive Werte von u, v und w die Möglichkeiten und , so dass es also
drei Fälle gibt, nämlich :
, oder ,
also ,
oder ,
entsprechend der Casey-Gleichung.

Wenn man das Quadrupel (1;1;1; -1) für die Berührungs-Art durch (1;1;1;1) oder (-1;-1;-1;-1)
bzw. ( -1; -1;1;1) oder (1;1;-1;-1) ersetzt, müssen u, v und w in folgender Weise geändert werden:
, und
bzw. , und .


.